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積の微分

微分積の微分ライプニッツ則)を求めます。

(fg)'=f'g+fg'

あまり筋が良くないかもしれませんが、余興として書きました。

シリーズの記事です。

  1. 全微分
  2. 全微分と接線
  3. 連鎖律
  4. 積の微分 ← この記事

目次

積の微分

$f,g$ は $x$ の関数とします。

f=f(x)
g=g(x)

$h$ は $f$ と $g$ の積とします。

h(x)=f(x)g(x)

$h$ は $f,g$ の関数だと見ることができます。

h=h(f,g)

$h$ を全微分します。

dh=h_f\,df+h_g\,dg

$h=fg$ を変数だと思えば偏微分は簡単です。

h_f=\frac{∂(fg)}{∂f}=\frac{∂f}{∂f}g=g
h_g=\frac{∂(fg)}{∂g}=f\frac{∂g}{∂g}=f

結果を代入すれば偏微分が消えます。

dh=g\,df+f\,dg

両辺を $dx$ で割れば $x$ での微分となります。

\frac{dh}{dx}=\frac{g\,df+f\,dg}{dx}=g\frac{df}{dx}+f\frac{dg}{dx}

ラグランジュの記法に書き直せば、ライプニッツ則が得られます。

h'=gf'+fg'
∴(fg)'=f'g+fg'

微分偏微分にバラし、偏微分が消え、全体の微分を個々の微分にバラした形となりました。