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積の微分

微分積の微分ライプニッツ則)を求めます。


(fg)'=f'g+fg'

※ 全微分についてはこちらの記事を参照してください。

あまり筋が良くないかもしれませんが、余興として書きました。

積の微分

f,gx の関数とします。


f=f(x)\\
g=g(x)

hfg の積とします。


h(x)=f(x)g(x)

hf,g の関数だと見ることができます。


h=h(f,g)

h を全微分します。


dh=h_f\,df+h_g\,dg

h=fg を変数だと思えば偏微分は簡単です。


\displaystyle h_f=\frac{∂(fg)}{∂f}=\frac{∂f}{∂f}g=g\\
\displaystyle h_g=\frac{∂(fg)}{∂g}=f\frac{∂g}{∂g}=f

結果を代入すれば偏微分が消えます。


dh=g\,df+f\,dg

両辺を dx で割れば x での微分となります。


\displaystyle \frac{dh}{dx}=\frac{g\,df+f\,dg}{dx}=g\frac{df}{dx}+f\frac{dg}{dx}

ラグランジュの記法に書き直せば、ライプニッツ則が得られます。


h'=gf'+fg'\\
∴(fg)'=f'g+fg'

微分偏微分にバラし、偏微分が消え、全体の微分を個々の微分にバラした形となりました。