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ラプラス=ド・ラーム作用素

ディラック作用素の2乗はラプラシアンを一般化したものでラプラス=ド・ラーム作用素と呼びます。計算過程を確認します。


D^2=(δ+d)^2=dδ+δd

ディラック作用素についてはこちらの記事を参照してください。

メモ程度の説明ですが、後で余力があれば書き直したいです。

ディラック作用素

ディラック作用素は余微分と外微分の和です。


D=δ+d

3次元の0-形式から3-形式までを用意します。


\begin{align*}
ω_0&=f(x,y,z)\\
ω_1&=f(x,y,z)dx+g(x,y,z)dy+h(x,y,z)dz\\
ω_2&=f(x,y,z)dy\,dz+g(x,y,z)dz\,dx+h(x,y,z)dx\,dy\\
ω_3&=f(x,y,z)dx\,dy\,dz
\end{align*}

これらにディラック作用素を適用します。


\begin{align*}
Dω_0&=\underbrace{0}_{δ}+\underbrace{f_x\,dx+f_y\,dy+f_z\,dz}_{d\,≅\,\mathrm{grad}}\\
Dω_1&=\underbrace{f_x+g_y+h_z}_{δ\,≅\,\mathrm{div}}+\underbrace{(h_y-g_z)dy\,dz+(f_z-h_x)dz\,dx+(g_x-f_y)dx\,dy}_{d\,≅\,\mathrm{rot}}\\
Dω_2&=\underbrace{(g_z-h_y)dx+(h_x-f_z)dy+(f_y-g_x)dz}_{δ\,≅\,-\mathrm{rot}}+\underbrace{(f_x+g_y+h_z)dx\,dy\,dz}_{d\,≅\,\mathrm{div}}\\
Dω_3&=\underbrace{f_x\,dy\,dz+f_y\,dz\,dx+f_z\,dx\,dy}_{δ\,≅\,\mathrm{grad}}+\underbrace{0}_{d}
\end{align*}

f:id:n7shi:20171006145108p:plain

ラプラス=ド・ラーム作用素

ディラック作用素の2乗がラプラス=ド・ラーム作用素です。


D^2=(δ+d)^2

既に計算済みの結果に代入して確認します。

※ 敢えて愚直に計算して、後で別の計算方法と比較します。

0-形式

いわゆる普通のラプラシアンです。

f:id:n7shi:20171006152652p:plain


D^2ω_0=D(\underbrace{δω_0}_{範囲外}+\underbrace{dω_0}_{\mathrm{grad}})=\underbrace{δdω_0}_{\mathrm{div\,grad}}+\underbrace{ddω_0}_{\mathrm{rot\,grad}}

既に計算済の Dω _ 0Dω _ 1 に代入します。


\begin{align*}
δdω_0&=f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}\\
ddω_0&=(f_{zy}-f_{yz})dy\,dz+(f_{xz}-f_{zx})dz\,dx+(f_{yx}-f_{xy})dx\,dy\\
      &=0\\
D^2ω_0&=f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}
\end{align*}

偏微分の順序が交換するため dd=0 となり、δd だけが残りました。

※ 0-形式を前提に \Delta=δd としたものを幾何学者のラプラシアンと呼びます。

1-形式

ベクトルラプラシアンと呼ばれます。

f:id:n7shi:20171006152716p:plain


D^2ω_1=D(\underbrace{δω_1}_{\mathrm{div}}+\underbrace{dω_1}_{\mathrm{rot}})=\underbrace{δδω_1}_{範囲外}+\underbrace{dδω_1}_{\mathrm{grad\,div}}+\underbrace{δdω_1}_{-\mathrm{rot\,rot}}+\underbrace{ddω_1}_{\mathrm{div\,rot}}

既に計算済の Dω _ 1Dω _ 0Dω _ 2 に代入します。


\begin{align*}
dδω_1&=(f_x+g_y+h_z)_x\,dx\\
  &\quad+(f_x+g_y+h_z)_y\,dy\\
  &\quad+(f_x+g_y+h_z)_z\,dz\\
δdω_1&=((f_z-h_x)_z-(g_x-f_y)_y)dx\\
  &\quad+((g_x-f_y)_x-(h_y-g_z)_z)dy\\
  &\quad+((h_y-g_z)_y-(f_z-h_x)_x)dz\\
ddω_1&=((h_y-g_z)_x+(f_z-h_x)_y+(g_x-f_y)_z)dx\,dy\,dz\\
      &=(f_{zy}-f_{yz}+g_{xz}-g_{zx}+h_{xy}-h_{yx})dx\,dy\,dz\\
      &=0\\
D^2ω_1&=(f_{xx}+g_{yx}+h_{zx}+f_{zz}-h_{xz}-g_{xy}+f_{yy})dx\\
  &\quad+(f_{xy}+g_{yy}+h_{zy}+g_{xx}-f_{yx}-h_{yz}+g_{zz})dy\\
  &\quad+(f_{xz}+g_{yz}+h_{zz}+h_{yy}-g_{zy}-f_{zx}+h_{xx})dz\\
       &=(f_{xx}+f_{yy}+f_{zz})dx\\
  &\quad+(g_{xx}+g_{yy}+g_{zz})dy\\
  &\quad+(h_{xx}+h_{yy}+h_{zz})dz
\end{align*}

偏微分の順序が交換するため dd=0 となり、dδ+δd が残りました。最後に D^{2} を計算する過程で、異なる変数で偏微分した項が消えてきれいな形になっています。

2-形式

f:id:n7shi:20171006152743p:plain


D^2ω_2=D(\underbrace{δω_2}_{-\mathrm{rot}}+\underbrace{dω_2}_{\mathrm{div}})=\underbrace{δδω_2}_{-\mathrm{div\,rot}}+\underbrace{dδω_2}_{-\mathrm{rot\,rot}}+\underbrace{δdω_2}_{\mathrm{grad\,div}}+\underbrace{ddω_2}_{範囲外}

既に計算済の Dω _ 2Dω _ 1Dω _ 3 に代入します。


\begin{align*}
δδω_2&=(g_z-h_y)_x+(h_x-f_z)_y+(f_y-g_x)_z\\
        &=f_{yz}-f_{zy}+g_{zx}-g_{xz}+h_{xy}-h_{yx}\\
        &=0\\
dδω_2&=((f_y-g_x)_y-(h_x-f_z)_z)dy\,dz\\
  &\quad+((g_z-h_y)_z-(f_y-g_x)_x)dz\,dx\\
  &\quad+((h_x-f_z)_x-(g_z-h_y)_y)dx\,dy\\
δdω_2&=(f_x+g_y+h_z)_x\,dy\,dz\\
  &\quad+(f_x+g_y+h_z)_y\,dz\,dx\\
  &\quad+(f_x+g_y+h_z)_z\,dx\,dy\\
D^2ω_2&=(f_{yy}-g_{xy}-h_{xz}+f_{zz}+f_{xx}+g_{yx}+h_{zx})dy\,dz\\
  &\quad+(g_{zz}-h_{yz}-f_{yx}+g_{xx}+f_{xy}+g_{yy}+h_{zy})dz\,dx\\
  &\quad+(h_{xx}-f_{zx}-g_{zy}+h_{yy}+f_{xz}+g_{yz}+h_{zz})dx\,dy\\
       &=(f_{xx}+f_{yy}+f_{zz})dy\,dz\\
  &\quad+(g_{xx}+g_{yy}+g_{zz})dz\,dx\\
  &\quad+(h_{xx}+h_{yy}+h_{zz})dx\,dy
\end{align*}

偏微分の順序が交換するため δδ=0 となり、dδ+δd が残りました。1-形式と同じ計算をしていますが、外微分と余微分の役割がひっくり返っています。

3-形式

f:id:n7shi:20171006152800p:plain


D^2ω_3=D(\underbrace{δω_3}_{\mathrm{grad}}+\underbrace{dω_3}_{範囲外})=\underbrace{δδω_3}_{-\mathrm{rot\,grad}}+\underbrace{dδω_3}_{\mathrm{div\,grad}}

既に計算済の Dω _ 3Dω _ 2 に代入します。


\begin{align*}
δδω_3&=(f_{yz}-f_{zy})dx+(f_{zx}-f_{xz})dy+(f_{xy}-f_{yx})dz\\
        &=0\\
dδω_3&=(f_{xx}+f_{yy}+f_{zz})dx\,dy\,dz\\
D^2ω_3&=(f_{xx}+f_{yy}+f_{zz})dx\,dy\,dz
\end{align*}

偏微分の順序が交換するため δδ=0 となり、dδ だけが残りました。0-形式と同じ計算をしていますが、外微分と余微分の役割がひっくり返っています。

まとめ

結果をまとめます。


\begin{align*}
D^2ω_0&=f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}\\
D^2ω_1&=(f_{xx}+f_{yy}+f_{zz})dx\\
  &\quad+(g_{xx}+g_{yy}+g_{zz})dy\\
  &\quad+(h_{xx}+h_{yy}+h_{zz})dz\\
D^2ω_2&=(f_{xx}+f_{yy}+f_{zz})dy\,dz\\
  &\quad+(g_{xx}+g_{yy}+g_{zz})dz\,dx\\
  &\quad+(h_{xx}+h_{yy}+h_{zz})dx\,dy\\
D^2ω_3&=(f_{xx}+f_{yy}+f_{zz})dx\,dy\,dz
\end{align*}

ここまでで以下のことが分かります。

  • 同じ添字で2回偏微分するパターン
  • 範囲外、偏微分の順序交換により dd=δδ=0

次の関係が成り立ちます。


D^2=(δ+d)^2=\underbrace{δδ+dd}_0+dδ+δd=dδ+δd

作用素を先に計算

愚直に代入して計算しましたが、実はもっと簡単に計算できます。

ディラック作用素の2乗(ラプラス=ド・ラーム作用素)を計算するとラプラシアンが現れます。


\displaystyle D^2=\frac{∂^2}{∂x^2}+\frac{∂^2}{∂y^2}+\frac{∂^2}{∂z^2}

※ 計算過程はこちらの記事を参照してください。

これを各形式に作用させます。ベクトルラプラシアンがあっけなく計算できます。


\begin{align*}
D^2ω_0&=D^2f\\
       &=f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}\\
D^2ω_1&=D^2(f\,dx+g\,dy+h\,dz)\\
       &=D^2f\,dx+D^2g\,dy+D^2h\,dz\\
       &=(f_{xx}+f_{yy}+f_{zz})dx\\
  &\quad+(g_{xx}+g_{yy}+g_{zz})dy\\
  &\quad+(h_{xx}+h_{yy}+h_{zz})dz\\
D^2ω_2&=D^2(f\,dy\,dz+g\,dz\,dx+h\,dx\,dy)\\
       &=D^2f\,dy\,dz+D^2g\,dz\,dx+D^2h\,dx\,dy\\
       &=(f_{xx}+f_{yy}+f_{zz})dy\,dz\\
  &\quad+(g_{xx}+g_{yy}+g_{zz})dz\,dx\\
  &\quad+(h_{xx}+h_{yy}+h_{zz})dx\,dy\\
D^2ω_3&=D^2f\,dx\,dy\,dz\\
       &=(f_{xx}+f_{yy}+f_{zz})dx\,dy\,dz
\end{align*}

このように作用素を先に計算しても結果は一致します。


D(Dω)=(DD)ω

行列演算の結合性と同じ考え方です。


A(BC)=(AB)C

追記

記事の公開後に頂いた情報です。