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ディラック作用素で2次元と4次元を計算

ディラック作用素を計算して、2次元や4次元のベクトル解析を調べます。

ディラック作用素については以下の記事を参照してください。

計算には以下で作成したプログラムを使用します。

マクスウェル方程式への応用は以下の記事を参照してください。

ユークリッド空間

次元が空間基底だけで構成されています。

3次元

ベクトル解析ではスカラー場の微分をgrad、ベクトル場の微分をrot/divと呼びます。


\begin{align*}
\mathrm{grad}\,F&=\left(\begin{matrix}F_x\\F_y\\F_z\end{matrix}\right)\\
\mathrm{rot}\left(\begin{matrix}X\\Y\\Z\end{matrix}\right)&=\left(\begin{matrix}Z_y-Y_z\\X_z-Z_x\\Y_x-X_y\end{matrix}\right)\\
\mathrm{div}\left(\begin{matrix}X\\Y\\Z\end{matrix}\right)&=X_x+Y_y+Z_z
\end{align*}

ディラック作用素を使えば、これらを算出して関係を体系的に整理できます。


\begin{align*}
&DF=\underbrace{F_x\,dx+F_y\,dy+F_z\,dz}_{d\,≅\,\mathrm{grad}}\\
&D(X\,dx+Y\,dy+Z\,dz)\\
&=\underbrace{X_x+Y_y+Z_z}_{δ\,≅\,\mathrm{div}}\\
&\quad+\underbrace{(Z_y-Y_z)dy\,dz+(X_z-Z_x)dz\,dx+(Y_x-X_y)dx\,dy}_{d\,≅\,\mathrm{rot}}\\
&D(X\,dy\,dz+Y\,dz\,dx+Z\,dx\,dy)\\
&=\underbrace{(Y_z-Z_y)dx+(Z_x-X_z)dy+(X_y-Y_x)dz}_{δ\,≅\,-\mathrm{rot}}\\
&\quad+\underbrace{(X_x+Y_y+Z_z)dx\,dy\,dz}_{d\,≅\,\mathrm{div}}\\
&DF\,dx\,dy\,dz=\underbrace{F_x\,dy\,dz+F_y\,dz\,dx+F_z\,dx\,dy}_{δ\,≅\,\mathrm{grad}}
\end{align*}

関係を図示します。外微分 d と余微分 δ はほぼ左右対称となっています。rot の符号反転は係数配置の左右反転に由来すると解釈できます。例: (Z_y-Y_z)\ →\ (Y_z-Z_y)

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この構成は次元によって変化します。実際に計算して確認します。

2次元

計算結果を示します。作用素には添え字で次元を示します。


\begin{align*}
D(F)&=\underbrace{F_{x}\,dx+F_{y}\,dy}_{d\,≅\,\mathrm{grad}_2}\\
D(X\,dx+Y\,dy)&=\underbrace{X_{x}+Y_{y}}_{δ\,≅\,\mathrm{div}_2}+\underbrace{(Y_{x}-X_{y})dx\,dy}_{d\,≅\,\mathrm{rot}_2}\\
D(F\,dx\,dy)&=\underbrace{-F_{y}\,dx+F_{x}\,dy}_{δ\,≅\,\mathrm{grad}_2'}
\end{align*}

3次元のミニチュア版という印象で、rot や div が小さくて可愛らしいです。2-形式の余微分が不思議な形をしていますが、ホッジ双対が現れています。余微分を考えなければ div を見落とすというのも、ちょっと面白い点です。

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4次元

dx,dy,dz と同じ性質を持った空間基底 dw を追加します。

基底の並べ方は、3次元の基底の組の前に dw を付けたものを追加します。

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計算結果を示します。左辺の D() 内の2-形式は項の数が多いですが、dw を含む基底の係数は黒板太字 \mathbb{X},\mathbb{Y},\mathbb{Z} で示します。


\begin{array}{l}
D(F)=\underbrace{F_{w}\,dw+F_{x}\,dx+F_{y}\,dy+F_{z}\,dz}_{d\,≅\,\mathrm{grad}_4}\\
D(W\,dw+X\,dx+Y\,dy+Z\,dz)\\
=\underbrace{W_{w}+X_{x}+Y_{y}+Z_{z}}_{δ\,≅\,\mathrm{div}_4}\\
\quad\underbrace{
  +(X_{w}-W_{x})dw\,dx+(Y_{w}-W_{y})dw\,dy+(Z_{w}-W_{z})dw\,dz\\
  +(Z_{y}-Y_{z})dy\,dz+(X_{z}-Z_{x})dz\,dx+(Y_{x}-X_{y})dx\,dy}_{d\,≅\,\mathrm{rot}_4}\\
D(\mathbb{X}\,dw\,dx+\mathbb{Y}\,dw\,dy+\mathbb{Z}\,dw\,dz+X\,dy\,dz+Y\,dz\,dx+Z\,dx\,dy)\\
\left.\begin{array}{l}
  =\underbrace{-(\mathbb{X}_{x}+\mathbb{Y}_{y}+\mathbb{Z}_{z})dw}_{-\mathrm{div}}\\
  \quad\underbrace{
    +(\mathbb{X}_{w}-Z_{y}+Y_{z})dx\\
    +(\mathbb{Y}_{w}-X_{z}+Z_{x})dy\\
    +(\mathbb{Z}_{w}-Y_{x}+X_{y})dz}_{∂_w-\mathrm{rot}}
\end{array}\right\}{\scriptsize δ}\\
\quad\left.\begin{array}{l}
  \underbrace{(X_{x}+Y_{y}+Z_{z})dx\,dy\,dz}_{\mathrm{div}}\\
  \underbrace{
    +(X_{w}-\mathbb{Z}_{y}+\mathbb{Y}_{z})dw\,dy\,dz\\
    +(Y_{w}-\mathbb{X}_{z}+\mathbb{Z}_{x})dw\,dz\,dx\\
    +(Z_{w}-\mathbb{Y}_{x}+\mathbb{X}_{y})dw\,dx\,dy}_{∂_w-\mathrm{rot}}
\end{array}\right\}{\scriptsize d}\\
D(W\,dx\,dy\,dz+X\,dw\,dy\,dz+Y\,dw\,dz\,dx+Z\,dw\,dx\,dy)\\
=\underbrace{
  (Z_{y}-Y_{z})dw\,dx+(X_{z}-Z_{x})dw\,dy+(Y_{x}-X_{y})dw\,dz\\
  +(W_{x}+X_{w})dy\,dz+(W_{y}+Y_{w})dz\,dx+(W_{z}+Z_{w})dx\,dy}_{δ\,≅\,\mathrm{rot}_4'}\\
\quad\underbrace{+(W_{w}-X_{x}-Y_{y}-Z_{z})dw\,dx\,dy\,dz}_{d\,≅\,\mathrm{div}_4'}\\
D(F\,dw\,dx\,dy\,dz)\\
=\underbrace{F_{w}\,dx\,dy\,dz-F_{x}\,dw\,dy\,dz-F_{y}\,dw\,dz\,dx-F_{z}\,dw\,dx\,dy}_{δ\,≅\,\mathrm{grad}_4'}
\end{array}

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2-形式

2-形式に作用させた結果は非常に複雑です。

添え字で次元を示せば、4次元のディラック作用素 D_4 の中に3次元のディラック作用素 D_3 が含まれていると解釈することで、構造が分かりやすくなります。


\begin{align*}
&D_3=δ_3+d_3=dx\frac{∂}{∂x}+dy\frac{∂}{∂y}+dz\frac{∂}{∂z}\\
&D_4=δ_4+d_4=dw\frac{∂}{∂w}+D_3\\
&F=\mathbb{X}\,dx+\mathbb{Y}\,dy+\mathbb{Z}\,dz\\
&G=X\,dy\,dz+Y\,dz\,dx+Z\,dx\,dy\\
&D_4(dw\,F+G)\\
&=\left(dw\frac{∂}{∂w}+D_3\right)(dw\,F+G)\\
&=dw\frac{∂}{∂w}(dw\,F+G)+D_3(dw\,F+G)\\
&=F_w+dw\,G_w-dw\,D_3F+D_3G\\
&=F_w+dw\,G_w-dw\,(δ_3+d_3)F+(δ_3+d_3)G\\
&=\underbrace{-dw\,\overbrace{δ_3F}^{\mathrm{div}\,F}+F_w+\overbrace{δ_3G}^{-\mathrm{rot}\,G}}_{δ_4}+\underbrace{\overbrace{d_3G}^{\mathrm{div}\,G}+dw(G_w-\overbrace{d_3F}^{\mathrm{rot}\,F})}_{d_4}
\end{align*}

この結果を直観的に解釈します。4次元2-形式から3次元にない基底 dw を抜いた3次元の1-形式 F と2-形式 G に対して、w での偏微分D_3 を作用させています。

以下の本では2-形式の外微分に相当する作用素を仮に Med と呼んでいます。


\begin{align*}
\mathrm{Grad}\,F&=\left(\begin{matrix}∂_w\,F \\ \mathrm{grad}\,F\end{matrix}\right)\\
\mathrm{Rot}\left(\begin{matrix}F \\ \mathbf{G}\end{matrix}\right)&=\left(\begin{matrix}-\mathrm{grad}\,F+∂_w\,\mathbf{G} \\ \mathrm{rot}\,\mathbf{G}\end{matrix}\right)\\
\mathrm{Med}\left(\begin{matrix}\mathbf{F} \\ \mathbf{G}\end{matrix}\right)&=\left(\begin{matrix}\mathrm{div}\,\mathbf{G} \\ \mathrm{rot}\,\mathbf{F}-∂_w\,\mathbf{G}\end{matrix}\right)\\
\mathrm{Div}\left(\begin{matrix}F \\ \mathbf{G}\end{matrix}\right)&=∂_w\,F+\mathrm{div}\,\mathbf{G}
\end{align*}

行列の成分は時間と空間に分離されています。一部符号が異なりますが、どこで違いが生じているかは未確認です。

ミンコフスキー空間

1次元の時間を含みます。ここでは時間の計量を正、空間の計量を負とします。

4次元

時間1次元+空間3次元です。


\begin{array}{l}
D(F)=\underbrace{F_{t}\,dt+F_{x}\,dx+F_{y}\,dy+F_{z}\,dz}_{d\,≅\,\mathrm{grad}_4}\\
D(T\,dt+X\,dx+Y\,dy+Z\,dz)\\
=\underbrace{T_{t}-X_{x}-Y_{y}-Z_{z}}_{δ\,≅\,\mathrm{div}_4'}\\
\quad\underbrace{
  +(X_{t}-T_{x})dt\,dx+(Y_{t}-T_{y})dt\,dy+(Z_{t}-T_{z})dt\,dz\\
  +(Z_{y}-Y_{z})dy\,dz+(X_{z}-Z_{x})dz\,dx+(Y_{x}-X_{y})dx\,dy}_{d\,≅\,\mathrm{rot}_4}\\
D(\mathbb{X}\,dt\,dx+\mathbb{Y}\,dt\,dy+\mathbb{Z}\,dt\,dz+X\,dy\,dz+Y\,dz\,dx+Z\,dx\,dy)\\
\left.\begin{array}{l}
  =\underbrace{(\mathbb{X}_{x}+\mathbb{Y}_{y}+\mathbb{Z}_{z})dt}_{\mathrm{div}}\\
  \quad\underbrace{
    +(\mathbb{X}_{t}+Z_{y}-Y_{z})dx\\
    +(\mathbb{Y}_{t}+X_{z}-Z_{x})dy\\
    +(\mathbb{Z}_{t}+Y_{x}-X_{y})dz}_{∂_t+\mathrm{rot}}
\end{array}\right\}{\scriptsize δ}\\
\quad\left.\begin{array}{l}
  \underbrace{+(X_{x}+Y_{y}+Z_{z})dx\,dy\,dz}_{\mathrm{div}}\\
  \underbrace{
    +(X_{t}-\mathbb{Z}_{y}+\mathbb{Y}_{z})dt\,dy\,dz\\
    +(Y_{t}-\mathbb{X}_{z}+\mathbb{Z}_{x})dt\,dz\,dx\\
    +(Z_{t}-\mathbb{Y}_{x}+\mathbb{X}_{y})dt\,dx\,dy}_{∂_t-\mathrm{rot}}
\end{array}\right\}{\scriptsize d}\\
D(T\,dx\,dy\,dz+X\,dt\,dy\,dz+Y\,dt\,dz\,dx+Z\,dt\,dx\,dy)\\
=\underbrace{
  (Y_{z}-Z_{y})dt\,dx+(Z_{x}-X_{z})dt\,dy+(X_{y}-Y_{x})dt\,dz\\
  +(X_{t}-T_{x})dy\,dz+(Y_{t}-T_{y})dz\,dx+(Z_{t}-T_{z})dx\,dy}_{δ\,≅\,\mathrm{rot}_4'}\\
\quad\underbrace{+(T_{t}-X_{x}-Y_{y}-Z_{z})dt\,dx\,dy\,dz}_{d\,≅\,\mathrm{div}_4'}\\
D(F\,dt\,dx\,dy\,dz)\\
=\underbrace{F_{t}\,dx\,dy\,dz+F_{x}\,dt\,dy\,dz+F_{y}\,dt\,dz\,dx+F_{z}\,dt\,dx\,dy}_{δ\,≅\,\mathrm{grad}_4}
\end{array}

ユークリッド空間とは一部の符号が異なりますが、grad や div の形が外微分と余微分で共通しているため、むしろこちらの方がきれいにも見えます。

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マクスウェル方程式

マクスウェル方程式は係数を変えるだけで導出できます。


\begin{array}{l}
D(φ\,dt-\vec{A}_x\,dx-\vec{A}_y\,dy-\vec{A}_z\,dz)\\
=\underbrace{
  φ_{,t}+\vec{A}_{x,x}+\vec{A}_{y,y}+\vec{A}_{z,z}
}_{\frac{∂φ}{∂t}+\mathrm{div}\,\vec{A}=0}\\
\quad+\underbrace{
   (-\vec{A}_{x,t}-φ_{,x})dt\,dx
  +(-\vec{A}_{y,t}-φ_{,y})dt\,dy
  +(-\vec{A}_{z,t}-φ_{,z})dt\,dz
}_{-\frac{∂\vec{A}}{∂t}-\mathrm{grad}\,φ=:\vec{E}}\\
\quad+\underbrace{
   (-\vec{A}_{z,y}+\vec{A}_{y,z})dy\,dz
  +(-\vec{A}_{x,z}+\vec{A}_{z,x})dz\,dx
  +(-\vec{A}_{y,x}+\vec{A}_{x,y})dx\,dy
}_{-\mathrm{rot}\,\vec{A}=:-\vec{B}}\\
=\vec{E}_x\,dt\,dx+\vec{E}_y\,dt\,dy+\vec{E}_z\,dt\,dz-\vec{B}_x\,dy\,dz-\vec{B}_y\,dz\,dx-\vec{B}_z\,dx\,dy\\
\\
D(\vec{E}_x\,dt\,dx+\vec{E}_y\,dt\,dy+\vec{E}_z\,dt\,dz-\vec{B}_x\,dy\,dz-\vec{B}_y\,dz\,dx-\vec{B}_z\,dx\,dy)\\
=\underbrace{
  (\vec{E}_{x,x}+\vec{E}_{y,y}+\vec{E}_{z,z})dt
}_{\mathrm{div}\,\vec{E}=:ρ}\\
\quad\underbrace{
  +(\vec{E}_{x,t}-\vec{B}_{z,y}+\vec{B}_{y,z})dx\\
  +(\vec{E}_{y,t}-\vec{B}_{x,z}+\vec{B}_{z,x})dy\\
  +(\vec{E}_{z,t}-\vec{B}_{y,x}+\vec{B}_{x,y})dz
}_{\frac{∂\vec{E}}{∂t}-\mathrm{rot}\,\vec{B}=:-\vec{j}}\\
\quad\underbrace{
  +(-\vec{B}_{x,x}-\vec{B}_{y,y}-\vec{B}_{z,z})dx\,dy\,dz
}_{\mathrm{div}\,\vec{B}=0}\\
\quad\underbrace{
  +(-\vec{B}_{x,t}-\vec{E}_{z,y}+\vec{E}_{y,z})dt\,dy\,dz\\
  +(-\vec{B}_{y,t}-\vec{E}_{x,z}+\vec{E}_{z,x})dt\,dz\,dx\\
  +(-\vec{B}_{z,t}-\vec{E}_{y,x}+\vec{E}_{x,y})dt\,dx\,dy
}_{\frac{∂\vec{B}}{∂t}+\mathrm{rot}\,\vec{E}=0}
\end{array}

詳細はこちらの記事を参照してください。