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(コ)ホモロジーの連続と離散

Twitterのログを集めた個人的なメモです。

トポロジーでは頂点が離散的な図形から入りますが、微分形式では連続した場(多様体)から入るので、ホモロジーコホモロジーが双対だと言っても少し間が空いているような印象を持っていました。

タイムラインを眺めていて「連続と離散」を意識すると良いのかもしれないと思い始めました。

最近この話題を意識し始めたのはtsujimotterさんの記事がきっかけです。

2番目の記事には気になることが書いてあります。テンソル積で離散を連続にしているようです。

\mathbb{R}\backslash {0} は2つの連結な空間があり、対応して0次ホモロジー群は

H_0(\mathbb{R}\backslash {0}, \mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z}^2
となります。これは \mathbb{Z} 係数なので、テンソル積によって \mathbb{R} 係数にすると
H_0(\mathbb{R}\backslash {0}, \mathbb{R}) \simeq H_0(\mathbb{R}\backslash {0}, \mathbb{Z}) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R} \simeq \mathbb{R}^2
が得られます。

ちょうどそんな時、ルシアンさんのコホモロジーの記事が公開されました。

私が知っているのはド・ラームコホモロジー微分形式による連続場を扱うものだったので、離散的な図形で説明されているのは新鮮でした。対応を考えると、頂点を無限小まで近付ければ連続場になるのかと想像しました。

きーねくさんがそれに近いことを発言されました。

これは渡りに船かと思いました。

ところで微分形式による鮮やかな結果はストークスの定理の一般化です。

ストークスの定理には離散版もあるそうです。こういう数学は知らなかったので驚きました。

連続と離散を意識すると世界が広がりそうだなと思いました。(小学生並みの感想)