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2~4次元で余微分を計算

2~4次元で余微分を計算します。余微分の具体的な計算例を示すことを目的とします。

ユークリッド空間とミンコフスキー空間のどちらにも適用できるように、計量は数値化せずに残します。

微分については前回の記事を参照してください。

微分を定義通りに計算するのは面倒です。簡略化のためディラック作用素の利用を検討中です。

目次

微分

微分 δ は外微分 d の随伴として定義されます。


(dη,ζ)=(η,δζ)

(,)内積積分の略記です。


\displaystyle \int_M⟨dη,ζ⟩ω=\int_M⟨η,δζ⟩ω

随伴となる関係を計算すると、余微分の定義が得られます。


δ
=(-1)^k\star^{-1}d\star
=(-1)^{n(k-1)-1}s^{-1}\star d\star
=\left\{\begin{array}{rc}
  -s^{-1}\star d\star &\text{偶数次元} \\
  (-1)^ks^{-1}\star d\star &\text{奇数次元}
  \end{array}\right.

この記事では偏微分を添え字で略記します。


\displaystyle f_x:=\frac{∂f}{∂x}

グレード

微分ではグレードが1つ上がりますが、余微分では1つ下がります。

0-形式はそれ以下にグレードが下がらないため、常に 0 になります。


δf=0

連続適用

2回連続の外微分は常に 0 になりますが、2回連続の余微分も常に 0 になります。


dd=0,\ δδ=0

微分と余微分を混ぜた dδδd は一般に 0 とはなりません。また、元のグレードに戻ります。

ウェッジ積で消える項

同じ基底が複数回現れるウェッジ積は 0 になります。


\underbrace{dx}_{\text{1回}}∧dy∧dz∧\underbrace{dx}_{\text{2回}}=0

これにより外微分で消える項がすぐ分かります。


\require{cancel}
\begin{aligned}
&d(X\,dx+Y\,dy) \\
&=(\cancel{X_x\,dx}+X_y\,dy)∧dx \\
&\ +(Y_x\,dx+\cancel{Y_y\,dy})∧dy \\
\end{aligned}

ホッジ双対を外微分する場合、基底が反転するため、消える項も反転します。


\begin{aligned}
&d\star(X\,dx+Y\,dy) \\
&=d(X\star dx+Y\star dy) \\
&=(X_x\,dx+\cancel{X_y\,dy})∧\star dx \\
&\ +(\cancel{Y_x\,dx}+Y_y\,dy)∧\star dy \\
\end{aligned}

この関係を意識していると、ホッジ双対を具体的に求める前に「同じ基底は残る」と判断できます。

微分の計算ではこのパターンがよく現れます。外微分と余微分では計算に使われる項が補完し合っており、外微分で消える項が余微分で使われます。

2次元

偶数次元の余微分はグレードに関わらず同じです。


δ=-s^{-1}\star d\star

1-形式

途中で内積のパターンが現れます。他の次元でも同様です。


\begin{aligned}
ω&=dx∧dy \\
s&=|ω|^2=|dx|^2|dy|^2 \\
δ&=-s^{-1}\star d\star \\
\\
&δ(X\,dx+Y\,dy) \\
&=-s^{-1}\star d\star(X\,dx+Y\,dy) \\
&=-s^{-1}\star d(X\star dx+Y\star dy) \\
&=-s^{-1}\star\{(X_x\,dx+\cancel{X_y\,dy})∧\star dx \\
&\qquad\qquad+(\cancel{Y_x\,dx}+Y_y\,dy)∧\star dy\} \\
&=-s^{-1}\star(X_x\,\underbrace{dx∧\star dx}_{⟨dx,dx⟩ω}+Y_y\,\underbrace{dy∧\star dy}_{⟨dy,dy⟩ω}) \\
&=-s^{-1}(X_x|dx|^2+Y_y|dy|^2)\star ω \\
&=-s^{-1}(X_x|dx|^2+Y_y|dy|^2)|ω|^2 \\
&=-(X_x|dx|^2+Y_y|dy|^2)
\end{aligned}

ベクトル解析での -div に相当します。

2-形式

スカラーの計算は \star ω=s を利用します。

途中で消える項はありません。外微分ではすべて消えて dω=0 になるのと逆になっています。


\begin{aligned}
ω&=dx∧dy \\
s&=|ω|^2=|dx|^2|dy|^2 \\
δ&=-s^{-1}\star d\star \\
\\
&δ(F\,dx∧dy) \\
&=-s^{-1}\star d\star(F\,ω) \\
&=-s^{-1}\star d(F\underbrace{\star ω}_s) \\
&=-\star dF \\
&=-\star(F_x\,dx+F_y\,dy) \\
&=-(F_x\star dx+F_y\star dy) \\
&=-(F_x|dx|^2 dy-F_y|dy|^2 dx)
\end{aligned}

ベクトル解析での grad に相当しますが、捻じれています。

3次元

奇数次元の余微分はグレードに応じて符号が付きます。


δ=(-1)^ks^{-1}\star d\star

1-形式


\begin{aligned}
ω&=dx∧dy∧dz \\
s&=|ω|^2=|dx|^2|dy|^2|dz|^2 \\
δ&=(-1)^1s^{-1}\star d\star=-s^{-1}\star d\star \\
\\
&δ(X\,dx+Y\,dy+Z\,dz) \\
&=-s^{-1}\star d\star(X\,dx+Y\,dy+Z\,dz) \\
&=-s^{-1}\star d(X\star dx+Y\star dy+Z\star dz) \\
&=-s^{-1}\star\{(X_x\,dx+\cancel{X_y\,dy}+\cancel{X_z\,dz})∧\star dx \\
&\qquad\qquad+(\cancel{Y_x\,dx}+Y_y\,dy+\cancel{Y_z\,dz})∧\star dy \\
&\qquad\qquad+(\cancel{Z_x\,dx}+\cancel{Z_y\,dy}+Z_z\,dz)∧\star dz\} \\
&=-s^{-1}\star(X_x\,\underbrace{dx∧\star dx}_{⟨dx,dx⟩ω}+Y_y\,\underbrace{dy∧\star dy}_{⟨dy,dy⟩ω}+Z_z\,\underbrace{dz∧\star dz}_{⟨dz,dz⟩ω}) \\
&=-s^{-1}(X_x|dx|^2+Y_y|dy|^2+Z_z|dz|^2)\star ω \\
&=-(X_x|dx|^2+Y_y|dy|^2+Z_z|dz|^2)
\end{aligned}

ベクトル解析での -div に相当します。

2-形式


\begin{aligned}
ω&=dx∧dy∧dz \\
s&=|ω|^2=|dx|^2|dy|^2|dz|^2 \\
δ&=(-1)^2s^{-1}\star d\star=s^{-1}\star d\star \\
\\
&δ(X\,dy∧dz+Y\,dz∧dx+Z\,dx∧dy) \\
&=s^{-1}\star d\star(X\,dy∧dz+Y\,dz∧dx+Z\,dx∧dy) \\
&=s^{-1}\star d\{X\star(dy∧dz)+Y\star(dz∧dx)+Z\star(dx∧dy)\} \\

&=s^{-1}\star\{(\cancel{X_x\,dx}+X_y\,dy+X_z\,dz)∧\star(dy∧dz) \\
&\qquad\quad+(Y_x\,dx+\cancel{Y_y\,dy}+Y_z\,dz)∧\star(dz∧dx) \\
&\qquad\quad+(Z_x\,dx+Z_y\,dy+\cancel{Z_z\,dz})∧\star(dx∧dy)\} \\

&=s^{-1}\star\{(X_y\,dy+X_z\,dz)∧|dy|^2|dz|^2dx \\
&\qquad\quad+(Y_x\,dx+Y_z\,dz)∧|dz|^2|dx|^2dy \\
&\qquad\quad+(Z_x\,dx+Z_y\,dy)∧|dx|^2|dy|^2dz\} \\

&=s^{-1}\star\{(Z_y|dx|^2|dy|^2-Y_z|dz|^2|dx|^2)dy∧dz \\
&\qquad\quad+(X_z|dy|^2|dz|^2-Z_x|dx|^2|dy|^2)dz∧dx \\
&\qquad\quad+(Y_x|dz|^2|dx|^2-X_y|dy|^2|dz|^2)dx∧dy\} \\

&=s^{-1}\{(Z_y|dx|^2|dy|^2-Y_z|dz|^2|dx|^2)\star(dy∧dz) \\
&\qquad+(X_z|dy|^2|dz|^2-Z_x|dx|^2|dy|^2)\star(dz∧dx) \\
&\qquad+(Y_x|dz|^2|dx|^2-X_y|dy|^2|dz|^2)\star(dx∧dy)\} \\

&=s^{-1}\{(Z_y|dx|^2|dy|^2-Y_z|dz|^2|dx|^2)|dy|^2|dz|^2dx \\
&\qquad+(X_z|dy|^2|dz|^2-Z_x|dx|^2|dy|^2)|dz|^2|dx|^2dy \\
&\qquad+(Y_x|dz|^2|dx|^2-X_y|dy|^2|dz|^2)|dx|^2|dy|^2dz\} \\

&=s^{-1}\{(Z_y|dx|^2|dy|^4|dz|^2-Y_z|dx|^2|dy|^2|dz|^4)dx \\
&\qquad+(X_z|dx|^2|dy|^2|dz|^4-Z_x|dx|^4|dy|^2|dz|^2)dy \\
&\qquad+(Y_x|dx|^4|dy|^2|dz|^2-X_y|dx|^2|dy|^4|dz|^2)dz\} \\

&=(Z_y|dy|^2-Y_z|dz|^2)dx \\
&\ +(X_z|dz|^2-Z_x|dx|^2)dy \\
&\ +(Y_x|dx|^2-X_y|dy|^2)dz

\end{aligned}

ベクトル解析での rot に相当します。

3-形式


\begin{aligned}
ω&=dx∧dy∧dz \\
s&=|ω|^2=|dx|^2|dy|^2|dz|^2 \\
δ&=(-1)^3s^{-1}\star d\star=-s^{-1}\star d\star \\
\\
&δ(F\,dx∧dy∧dz) \\
&=-s^{-1}\star d\star(F\,ω) \\
&=-s^{-1}\star d(F\underbrace{\star ω}_s) \\
&=-\star dF \\
&=-\star(F_x\,dx+F_y\,dy+F_z\,dz) \\
&=-(F_x\star dx+F_y\star dy+F_z\star dz) \\
&=-(F_x|dx|^2 dy∧dz+F_y|dy|^2 dz∧dx+F_z|dz|^2 dx∧dy)
\end{aligned}

ベクトル解析での -grad に相当します。

4次元

偶数次元の余微分はグレードに関わらず同じです。


δ=-s^{-1}\star d\star

1-形式


\begin{aligned}
ω&=dw∧dx∧dy∧dz \\
s&=|ω|^2=|dw|^2|dx|^2|dy|^2|dz|^2 \\
δ&=-s^{-1}\star d\star \\
\\
&δ(W\,dw+X\,dx+Y\,dy+Z\,dz) \\
&=-s^{-1}\star d\star(W\,dw+X\,dx+Y\,dy+Z\,dz) \\
&=-s^{-1}\star d(W\star dw+X\star dx+Y\star dy+Z\star dz) \\
&=-s^{-1}\star\{(W_w\,dw+\cancel{W_x\,dx}+\cancel{W_y\,dy}+\cancel{W_z\,dz})∧\star dw \\
&\qquad\qquad+(\cancel{X_w\,dw}+X_x\,dx+\cancel{X_y\,dy}+\cancel{X_z\,dz})∧\star dx \\
&\qquad\qquad+(\cancel{Y_w\,dw}+\cancel{Y_x\,dx}+Y_y\,dy+\cancel{Y_z\,dz})∧\star dy \\
&\qquad\qquad+(\cancel{Z_w\,dw}+\cancel{Z_x\,dx}+\cancel{Z_y\,dy}+Z_z\,dz)∧\star dz\} \\
&=-s^{-1}\star(W_w\,\underbrace{dw∧\star dw}_{⟨dw,dw⟩ω}+X_x\,\underbrace{dx∧\star dx}_{⟨dx,dx⟩ω}+Y_y\,\underbrace{dy∧\star dy}_{⟨dy,dy⟩ω}+Z_z\,\underbrace{dz∧\star dz}_{⟨dz,dz⟩ω}) \\
&=-s^{-1}(W_w|dw|^2+X_x|dx|^2+Y_y|dy|^2+Z_z|dz|^2)\star ω \\
&=-(W_w|dw|^2+X_x|dx|^2+Y_y|dy|^2+Z_z|dz|^2)
\end{aligned}

ベクトル解析での -div に相当します。

2-形式


\begin{aligned}
ω&=dw∧dx∧dy∧dz \\
s&=|ω|^2=|dw|^2|dx|^2|dy|^2|dz|^2 \\
δ&=-s^{-1}\star d\star \\
\\
&δ(\mathbb{X}\,dw∧dx+\mathbb{Y}\,dw∧dy+\mathbb{Z}\,dw∧dz+X\,dy∧dz+Y\,dz∧dx+Z\,dx∧dy) \\

&=-s^{-1}\star d\{\mathbb{X}\star(dw∧dx)+\mathbb{Y}\star(dw∧dy)+\mathbb{Z}\star(dw∧dz) \\
&\qquad\qquad\ +X\star(dy∧dz)+Y\star(dz∧dx)+Z\star(dx∧dy)\} \\

&=-s^{-1}\star\{(\mathbb{X}_w\,dw+\mathbb{X}_x\,dx+\cancel{\mathbb{X}_y\,dy}+\cancel{\mathbb{X}_z\,dz})∧\star(dw∧dx) \\
&\qquad\qquad+(\mathbb{Y}_w\,dw+\cancel{\mathbb{Y}_x\,dx}+\mathbb{Y}_y\,dy+\cancel{\mathbb{Y}_z\,dz})∧\star(dw∧dy) \\
&\qquad\qquad+(\mathbb{Z}_w\,dw+\cancel{\mathbb{Z}_x\,dx}+\cancel{\mathbb{Z}_y\,dy}+\mathbb{Z}_z\,dz)∧\star(dw∧dz) \\
&\qquad\qquad+(\cancel{X_w\,dw}+\cancel{X_x\,dx}+X_y\,dy+X_z\,dz)∧\star(dy∧dz) \\
&\qquad\qquad+(\cancel{Y_w\,dw}+Y_x\,dx+\cancel{Y_y\,dy}+Y_z\,dz)∧\star(dz∧dx) \\
&\qquad\qquad+(\cancel{Z_w\,dw}+Z_x\,dx+Z_y\,dy+\cancel{Z_z\,dz})∧\star(dx∧dy)\} \\

% wx,wy,wz,yz,zx,xy
% xwwxyz=|wx|yz, ywwxyz=|wy|zx, zwwxyz=|wz|xy
% zywxyz=|yz|wx, xzwxyz=|zx|wy, yxwxyz=|xy|wz

&=-s^{-1}\star\{(\mathbb{X}_w\,dw+\mathbb{X}_x\,dx)∧|dw|^2|dx|^2dy∧dz \\
&\qquad\qquad+(\mathbb{Y}_w\,dw+\mathbb{Y}_y\,dy)∧|dw|^2|dy|^2dz∧dx \\
&\qquad\qquad+(\mathbb{Z}_w\,dw+\mathbb{Z}_z\,dz)∧|dw|^2|dz|^2dx∧dy \\
&\qquad\qquad+(X_y\,dy+X_z\,dz)∧|dy|^2|dz|^2dw∧dx \\
&\qquad\qquad+(Y_x\,dx+Y_z\,dz)∧|dz|^2|dx|^2dw∧dy \\
&\qquad\qquad+(Z_x\,dx+Z_y\,dy)∧|dx|^2|dy|^2dw∧dz\} \\

&=-s^{-1}\star\{(\mathbb{X}_x|dw|^2|dx|^2+\mathbb{Y}_y|dw|^2|dy|^2+\mathbb{Z}_z|dw|^2|dz|^2)dx∧dy∧dz \\
&\qquad\qquad+(\mathbb{X}_w|dw|^2|dx|^2+Y_z|dz|^2|dx|^2-Z_y|dx|^2|dy|^2)dw∧dy∧dz \\
&\qquad\qquad+(\mathbb{Y}_w|dw|^2|dy|^2+Z_x|dx|^2|dy|^2-X_z|dy|^2|dz|^2)dw∧dz∧dx \\
&\qquad\qquad+(\mathbb{Z}_w|dw|^2|dz|^2+X_y|dy|^2|dz|^2-Y_x|dz|^2|dx|^2)dw∧dx∧dy\} \\

&=-s^{-1}\{(\mathbb{X}_x|dw|^2|dx|^2+\mathbb{Y}_y|dw|^2|dy|^2+\mathbb{Z}_z|dw|^2|dz|^2)\star(dx∧dy∧dz) \\
&\qquad\quad+(\mathbb{X}_w|dw|^2|dx|^2+Y_z|dz|^2|dx|^2-Z_y|dx|^2|dy|^2)\star(dw∧dy∧dz) \\
&\qquad\quad+(\mathbb{Y}_w|dw|^2|dy|^2+Z_x|dx|^2|dy|^2-X_z|dy|^2|dz|^2)\star(dw∧dz∧dx) \\
&\qquad\quad+(\mathbb{Z}_w|dw|^2|dz|^2+X_y|dy|^2|dz|^2-Y_x|dz|^2|dx|^2)\star(dw∧dx∧dy)\} \\

% xyz,wyz,wzx,wxy
% zyxwxyz=-w,zywwxyz=x,xzwwxyz=y,yxwwxyz=z

&=-s^{-1}\{(\mathbb{X}_x|dw|^2|dx|^2+\mathbb{Y}_y|dw|^2|dy|^2+\mathbb{Z}_z|dw|^2|dz|^2)|dx|^2|dy|^2|dz|^2(-dw) \\
&\qquad\quad+(\mathbb{X}_w|dw|^2|dx|^2+Y_z|dz|^2|dx|^2-Z_y|dx|^2|dy|^2)|dw|^2|dy|^2|dz|^2dx \\
&\qquad\quad+(\mathbb{Y}_w|dw|^2|dy|^2+Z_x|dx|^2|dy|^2-X_z|dy|^2|dz|^2)|dw|^2|dz|^2|dx|^2dy \\
&\qquad\quad+(\mathbb{Z}_w|dw|^2|dz|^2+X_y|dy|^2|dz|^2-Y_x|dz|^2|dx|^2)|dw|^2|dx|^2|dy|^2dz\} \\

&=-\{-(\mathbb{X}_x|dx|^2+\mathbb{Y}_y|dy|^2+\mathbb{Z}_z|dz|^2)dw \\
&\qquad\quad+(\mathbb{X}_w|dw|^2+Y_z|dz|^2-Z_y|dy|^2)dx \\
&\qquad\quad+(\mathbb{Y}_w|dw|^2+Z_x|dx|^2-X_z|dz|^2)dy \\
&\qquad\quad+(\mathbb{Z}_w|dw|^2+X_y|dy|^2-Y_x|dx|^2)dz\} \\

&=(\mathbb{X}_x|dx|^2+\mathbb{Y}_y|dy|^2+\mathbb{Z}_z|dz|^2)dw \\
&\ -(\mathbb{X}_w|dw|^2+Y_z|dz|^2-Z_y|dy|^2)dx \\
&\ -(\mathbb{Y}_w|dw|^2+Z_x|dx|^2-X_z|dz|^2)dy \\
&\ -(\mathbb{Z}_w|dw|^2+X_y|dy|^2-Y_x|dx|^2)dz

\end{aligned}

複雑な形をしていますが、よく見ると3つの部分に分割して解釈できます。

簡単のため計量を省略すると:


\begin{aligned}

\mathrm{div}&:\ (\mathbb{X}_x+\mathbb{Y}_y+\mathbb{Z}_z)dw \\
-\frac ∂{∂w}&:\ -(\mathbb{X}_w dx+\mathbb{Y}_w dy+\mathbb{Z}_w dz) \\
\mathrm{rot}&:\ (Z_y-Y_z)dx+(X_z-Z_x)dy+(Y_x-X_y)dz

\end{aligned}

rot の部分には w を除いた3次元の構造がそのまま現れます。

3-形式


\begin{aligned}
ω&=dw∧dx∧dy∧dz \\
s&=|ω|^2=|dw|^2|dx|^2|dy|^2|dz|^2 \\
δ&=-s^{-1}\star d\star \\
\\
&δ(W\,dx∧dy∧dz+X\,dw∧dy∧dz+Y\,dw∧dz∧dx+Z\,dw∧dx∧dy) \\

&=-s^{-1}\star d\{W\star(dx∧dy∧dz) \\
&\qquad\qquad\ +X\star(dw∧dy∧dz) \\
&\qquad\qquad\ +Y\star(dw∧dz∧dx) \\
&\qquad\qquad\ +Z\star(dw∧dx∧dy)\} \\

&=-s^{-1}\star\{(\cancel{W_w\,dw}+W_x\,dx+W_y\,dy+W_z\,dz)∧\star(dx∧dy∧dz) \\
&\qquad\qquad+(X_w\,dw+\cancel{X_x\,dx}+X_y\,dy+X_z\,dz)∧\star(dw∧dy∧dz) \\
&\qquad\qquad+(Y_w\,dw+Y_x\,dx+\cancel{Y_y\,dy}+Y_z\,dz)∧\star(dw∧dz∧dx) \\
&\qquad\qquad+(Z_w\,dw+Z_x\,dx+Z_y\,dy+\cancel{Z_z\,dz})∧\star(dw∧dx∧dy)\} \\

% xyz,wyz,wzx,wxy
% zyxwxyz=-w,zywwxyz=x,xzwwxyz=y,yxwwxyz=z

&=-s^{-1}\star\{(W_x\,dx+W_y\,dy+W_z\,dz)∧|dx|^2|dy|^2|dz|^2(-dw) \\
&\qquad\qquad+(X_w\,dw+X_y\,dy+X_z\,dz)∧|dw|^2|dy|^2|dz|^2dx \\
&\qquad\qquad+(Y_w\,dw+Y_x\,dx+Y_z\,dz)∧|dw|^2|dz|^2|dx|^2dy \\
&\qquad\qquad+(Z_w\,dw+Z_x\,dx+Z_y\,dy)∧|dw|^2|dx|^2|dy|^2dz\} \\

&=-s^{-1}\star\{   Z_y|dw|^2|dx|^2|dy|^2-Y_z|dw|^2|dz|^2|dx|^2)dy∧dz \\
&\qquad\qquad+(X_z|dw|^2|dy|^2|dz|^2-Z_x|dw|^2|dx|^2|dy|^2)dz∧dx \\
&\qquad\qquad+(Y_x|dw|^2|dz|^2|dx|^2-X_y|dw|^2|dy|^2|dz|^2)dx∧dy \\
&\qquad\qquad+(W_x|dx|^2|dy|^2|dz|^2+X_w|dw|^2|dy|^2|dz|^2)dw∧dx \\
&\qquad\qquad+(W_y|dx|^2|dy|^2|dz|^2+Y_w|dw|^2|dz|^2|dx|^2)dw∧dy \\
&\qquad\qquad+(W_z|dx|^2|dy|^2|dz|^2+Z_w|dw|^2|dx|^2|dy|^2)dw∧dz\} \\

&=-s^{-1}\{(Z_y|dw|^2|dx|^2|dy|^2-Y_z|dw|^2|dz|^2|dx|^2)\star(dy∧dz) \\
&\qquad\quad+(X_z|dw|^2|dy|^2|dz|^2-Z_x|dw|^2|dx|^2|dy|^2)\star(dz∧dx) \\
&\qquad\quad+(Y_x|dw|^2|dz|^2|dx|^2-X_y|dw|^2|dy|^2|dz|^2)\star(dx∧dy) \\
&\qquad\quad+(W_x|dx|^2|dy|^2|dz|^2+X_w|dw|^2|dy|^2|dz|^2)\star(dw∧dx) \\
&\qquad\quad+(W_y|dx|^2|dy|^2|dz|^2+Y_w|dw|^2|dz|^2|dx|^2)\star(dw∧dy) \\
&\qquad\quad+(W_z|dx|^2|dy|^2|dz|^2+Z_w|dw|^2|dx|^2|dy|^2)\star(dw∧dz)\} \\

% wx,wy,wz,yz,zx,xy
% xwwxyz=|wx|yz, ywwxyz=|wy|zx, zwwxyz=|wz|xy
% zywxyz=|yz|wx, xzwxyz=|zx|wy, yxwxyz=|xy|wz

&=-s^{-1}\{  (Z_y|dw|^2|dx|^2|dy|^2-Y_z|dw|^2|dz|^2|dx|^2)|dy|^2|dz|^2 dw∧dx \\
&\qquad\quad+(X_z|dw|^2|dy|^2|dz|^2-Z_x|dw|^2|dx|^2|dy|^2)|dz|^2|dx|^2 dw∧dy \\
&\qquad\quad+(Y_x|dw|^2|dz|^2|dx|^2-X_y|dw|^2|dy|^2|dz|^2)|dx|^2|dy|^2 dw∧dz \\
&\qquad\quad+(W_x|dx|^2|dy|^2|dz|^2+X_w|dw|^2|dy|^2|dz|^2)|dw|^2|dx|^2 dy∧dz \\
&\qquad\quad+(W_y|dx|^2|dy|^2|dz|^2+Y_w|dw|^2|dz|^2|dx|^2)|dw|^2|dy|^2 dz∧dx \\
&\qquad\quad+(W_z|dx|^2|dy|^2|dz|^2+Z_w|dw|^2|dx|^2|dy|^2)|dw|^2|dz|^2 dx∧dy\} \\

&=-\{(Z_y|dy|^2-Y_z|dz|^2)dw∧dx \\
&\quad\ +(X_z|dz|^2-Z_x|dx|^2)dw∧dy \\
&\quad\ +(Y_x|dx|^2-X_y|dy|^2)dw∧dz \\
&\quad\ +(W_x|dx|^2+X_w|dw|^2)dy∧dz \\
&\quad\ +(W_y|dy|^2+Y_w|dw|^2)dz∧dx \\
&\quad\ +(W_z|dz|^2+Z_w|dw|^2)dx∧dy\}

\end{aligned}

ベクトル解析での rot に相当しますが、一部符号が反転しています。

4-形式


\begin{aligned}
ω&=dw∧dx∧dy∧dz \\
s&=|ω|^2=|dw|^2|dx|^2|dy|^2|dz|^2 \\
δ&=-s^{-1}\star d\star \\
\\
&δ(F\,dw∧dx∧dy∧dz) \\
&=-s^{-1}\star d\star(F\,ω) \\
&=-s^{-1}\star d(F\underbrace{\star ω}_s) \\
&=-\star dF \\
&=-\star(F_w\,dw+F_x\,dx+F_y\,dy+F_z\,dz) \\
&=-(F_w\star dw+F_x\star dx+F_y\star dy+F_z\star dz) \\

% wwxyz=xyz,xwxyz=-wyz,ywxyz=wxz=-wzx,zwxyz=-wxy
&=-(     F_w|dw|^2 dx∧dy∧dz \\
&\quad\ -F_x|dx|^2 dw∧dy∧dz \\
&\quad\ -F_y|dy|^2 dw∧dz∧dx \\
&\quad\ -F_z|dz|^2 dw∧dx∧dy)

\end{aligned}

ベクトル解析での grad に相当しますが、一部符号が反転しています。

まとめ

2次元


\begin{aligned}

&δ(X\,dx+Y\,dy) \\
&=-(X_x|dx|^2+Y_y|dy|^2) \\

&δ(F\,dx∧dy) \\
&=-(F_x|dx|^2 dy-F_y|dy|^2 dx)

\end{aligned}

3次元


\begin{aligned}

&δ(X\,dx+Y\,dy+Z\,dz) \\
&=-(X_x|dx|^2+Y_y|dy|^2+Z_z|dz|^2) \\

&δ(X\,dy∧dz+Y\,dz∧dx+Z\,dx∧dy) \\
&=(Z_y|dy|^2-Y_z|dz|^2)dx \\
&\ +(X_z|dz|^2-Z_x|dx|^2)dy \\
&\ +(Y_x|dx|^2-X_y|dy|^2)dz \\

&δ(F\,dx∧dy∧dz) \\
&=-(F_x|dx|^2 dy∧dz+F_y|dy|^2 dz∧dx+F_z|dz|^2 dx∧dy)

\end{aligned}

4次元


\begin{aligned}

&δ(W\,dw+X\,dx+Y\,dy+Z\,dz) \\
&=-(W_w|dw|^2+X_x|dx|^2+Y_y|dy|^2+Z_z|dz|^2) \\

&δ(\mathbb{X}\,dw∧dx+\mathbb{Y}\,dw∧dy+\mathbb{Z}\,dw∧dz+X\,dy∧dz+Y\,dz∧dx+Z\,dx∧dy) \\
&=(\mathbb{X}_x|dx|^2+\mathbb{Y}_y|dy|^2+\mathbb{Z}_z|dz|^2)dw \\
&\ -(\mathbb{X}_w|dw|^2+Y_z|dz|^2-Z_y|dy|^2)dx \\
&\ -(\mathbb{Y}_w|dw|^2+Z_x|dx|^2-X_z|dz|^2)dy \\
&\ -(\mathbb{Z}_w|dw|^2+X_y|dy|^2-Y_x|dx|^2)dz \\

&δ(W\,dx∧dy∧dz+X\,dw∧dy∧dz+Y\,dw∧dz∧dx+Z\,dw∧dx∧dy) \\
&=-\{(Z_y|dy|^2-Y_z|dz|^2)dw∧dx \\
&\quad\ +(X_z|dz|^2-Z_x|dx|^2)dw∧dy \\
&\quad\ +(Y_x|dx|^2-X_y|dy|^2)dw∧dz \\
&\quad\ +(W_x|dx|^2+X_w|dw|^2)dy∧dz \\
&\quad\ +(W_y|dy|^2+Y_w|dw|^2)dz∧dx \\
&\quad\ +(W_z|dz|^2+Z_w|dw|^2)dx∧dy\} \\

&δ(F\,dw∧dx∧dy∧dz) \\
&=-(     F_w|dw|^2 dx∧dy∧dz \\
&\quad\ -F_x|dx|^2 dw∧dy∧dz \\
&\quad\ -F_y|dy|^2 dw∧dz∧dx \\
&\quad\ -F_z|dz|^2 dw∧dx∧dy)

\end{aligned}