【お知らせ】プログラミング記事の投稿はQiitaに移行しました。

行列の積の性質

連立方程式と対比して行列の積の性質を調べます。

シリーズの記事です。

  1. 一次変数変換と行列の積
  2. 単位行列と逆行列
  3. 掃き出し法と逆行列
  4. 行列の積の性質 ← この記事
  5. 行列の演算
  6. ケイリー・ハミルトンの定理
  7. 零行列と冪零行列
  8. 冪零行列と二重数
  9. 零因子ペアの生成
  10. 三種類の二元数
  11. 分解型四元数と同型対応
  12. 分解型四元数と幾何代数
  13. 行列表現と外積と行列式

目次

結合則

3つの変換を考えます。

\tag{1} \begin{cases} x=ax'+by' \\ y=cx'+dy' \end{cases}
\tag{2} \begin{cases} x'=a'x''+b'y'' \\ y'=c'x''+d'y'' \end{cases}
\tag{3} \begin{cases} x''=a''x'''+b''y''' \\ y''=c''x'''+d''y''' \end{cases}

これを合成するには2通りのやり方があります。

1番目。$(1)$ に $(2)$ を代入して、そこに $(3)$ を代入します。

\begin{aligned} &\left\{\begin{aligned} x&=a(a'x''+b'y'')+b(c'x''+d'y'') \\ y&=c(a'x''+b'y'')+d(c'x''+d'y'') \end{aligned}\right. \\ &\left\{\begin{aligned} x&=(aa'+bc')x''+(ab'+bd')y'' \\ y&=(ca'+dc')x''+(cb'+dd')y'' \end{aligned}\right. \\ &\left\{\begin{aligned} x&=(aa'a''+ab'c''+bc'a''+bd'c'')x'''+(aa'b''+ab'd''+bc'b''+bd'd'')y''' \\ y&=(ca'a''+cb'c''+dc'a''+dd'c'')x'''+(ca'b''+cb'd''+dc'b''+dd'd'')y''' \end{aligned}\right. \end{aligned}
\begin{aligned} &\left\{ \begin{pmatrix}a &b \\c &d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a' &b' \\c' &d' \end{pmatrix} \right\} \begin{pmatrix}a''&b''\\c''&d''\end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} aa'+bc' & ab'+bd' \\ ca'+dc' & cb'+dd' \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a''&b''\\c''&d''\end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} aa'a''+ab'c''+bc'a''+bd'c'' & aa'b''+ab'd''+bc'b''+bd'd'' \\ ca'a''+cb'c''+dc'a''+dd'c'' & ca'b''+cb'd''+dc'b''+dd'd'' \end{pmatrix} \end{aligned}

2番目。$(2)$ に $(3)$ を代入して、それを $(1)$ に代入します。

\begin{aligned} &\left\{\begin{aligned} x'&=a'(a''x'''+b''y''')+b'(c''x'''+d''y''') \\ y'&=c'(a''x'''+b''y''')+d'(c''x'''+d''y''') \end{aligned}\right. \\ &\left\{\begin{aligned} x'&=(a'a''+b'c'')x'''+(a'b''+b'd'')y''' \\ y'&=(c'a''+d'c'')x'''+(c'b''+d'd'')y''' \end{aligned}\right. \\ &\left\{\begin{aligned} x&=(aa'a''+ab'c''+bc'a''+bd'c'')x'''+(aa'b''+ab'd''+bc'b''+bd'd'')y''' \\ y&=(ca'a''+cb'c''+dc'a''+dd'c'')x'''+(ca'b''+cb'd''+dc'b''+dd'd'')y''' \end{aligned}\right. \end{aligned}
\begin{aligned} &\begin{pmatrix}a &b \\c &d \end{pmatrix} \left\{ \begin{pmatrix}a' &b' \\c' &d' \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a''&b''\\c''&d''\end{pmatrix} \right\} \\ &=\begin{pmatrix}a &b \\c &d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a'a''+b'c'' & a'b''+b'd'' \\ c'a''+d'c'' & c'b''+d'd'' \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} aa'a''+ab'c''+bc'a''+bd'c'' & aa'b''+ab'd''+bc'b''+bd'd'' \\ ca'a''+cb'c''+dc'a''+dd'c'' & ca'b''+cb'd''+dc'b''+dd'd'' \end{pmatrix} \end{aligned}

代入の順番に関わらず結果は同じです。当たり前に思えますが、念のため確認しました。これは行列の積が結合則を満たすことを表します。

行列の積の結合則
\left\{ \begin{pmatrix}a &b \\c &d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a' &b' \\c' &d' \end{pmatrix} \right\} \begin{pmatrix}a''&b''\\c''&d''\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a &b \\c &d \end{pmatrix} \left\{ \begin{pmatrix}a' &b' \\c' &d' \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a''&b''\\c''&d''\end{pmatrix} \right\}

どの順番で計算しても結果は等しいため、以後は計算の順序を示す括弧は基本的に省略します。

\begin{pmatrix}a &b \\c &d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a' &b' \\c' &d' \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a''&b''\\c''&d''\end{pmatrix}

逆行列

結合則から次の関係が成り立ちます。

\begin{pmatrix}a &b \\c &d \end{pmatrix} \underbrace{ \begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}^{-1} }_I \begin{pmatrix}a &b \\c &d \end{pmatrix}^{-1} =\begin{pmatrix}a &b \\c &d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a &b \\c &d \end{pmatrix}^{-1} =I

行列の積の逆行列は、順番を逆にして逆行列を並べることが分かります。

行列の積の逆行列
\left\{ \begin{pmatrix}a &b \\c &d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix} \right\}^{-1} =\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}a &b \\c &d \end{pmatrix}^{-1}

具体的に計算します。

\begin{aligned} \begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}a &b \\c &d \end{pmatrix}^{-1} &=\left\{ \frac1{a'd'-b'c'} \begin{pmatrix}d'&-b'\\-c'&a'\end{pmatrix} \right\} \left\{ \frac1{ad-bc} \begin{pmatrix}d &-b \\-c &a \end{pmatrix} \right\} \\ &=\frac1{(a'd'-b'c')(ad-bc)} \begin{pmatrix} d'd+b'c & -(d'b+b'a) \\ -(c'd+a'c) & c'b+a'a \end{pmatrix} \end{aligned}

係数の分母より、両方の行列が正則のときだけ積が正則になることが分かります。

交換則

$(1),(2)$ と代入した結果を再掲します。

\begin{aligned} &\begin{cases} x=ax'+by' \\ y=cx'+dy' \end{cases} \\ &\begin{cases} x'=a'x''+b'y'' \\ y'=c'x''+d'y'' \end{cases} \\ &\left\{\begin{aligned} x&=(aa'+bc')x''+(ab'+bd')y'' \\ y&=(ca'+dc')x''+(cb'+dd')y'' \end{aligned}\right. \end{aligned}
\tag{4} \begin{pmatrix}a &b \\c &d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} aa'+bc' & ab'+bd' \\ ca'+dc' & cb'+dd' \end{pmatrix}

これに対して、右辺の $x',y'$ と $x'',y''$ の係数を入れ替えて代入します。

\begin{aligned} &\begin{cases} x=a'x'+b'y' \\ y=c'x'+d'y' \end{cases} \\ &\begin{cases} x'=ax''+by'' \\ y'=cx''+dy'' \end{cases} \\ &\left\{\begin{aligned} x&=(a'a+b'c)x''+(a'b+b'd)y'' \\ y&=(c'a+d'c)x''+(c'b+d'd)y'' \end{aligned}\right. \end{aligned}
\tag{5} \begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a &b \\c &d \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a'a+b'c & a'b+b'd \\ c'a+d'c & c'b+d'd \end{pmatrix}

$(4)$ と $(5)$ の右辺は異なります。これは行列の積は必ずしも交換則を満たさない(掛ける並びを交換すると結果が変わる)ことを意味します。

既に見たものでも、いくつか交換する行列があります。単位行列は任意の行列と交換します。逆行列を持つ行列は、自身の逆行列と交換します。

それ以外にも特殊な条件を満たすときに交換する組み合わせがあります。

交換する条件

$(4)$ と $(5)$ の成分を比較すれば、交換する条件が抽出できます。

\left\{\begin{aligned} aa'+bc'&=a'a+b'c \\ ab'+bd'&=a'b+b'd \\ ca'+dc'&=c'a+d'c \\ cb'+dd'&=c'b+d'd \end{aligned}\right.

掛ける並びを入れ替えたことで、左辺と右辺では $'$ の位置が移動しています。

係数 $a,b,c,d,a',b',c',d'$ が実数や複素数など交換する数だと仮定すれば、条件が少し簡単になります。

$aa'=a'a$ と $dd'=d'd$ より1番目の式と4番目の式は等しくなるため、条件が1つ減って3つになります。

\left\{\begin{aligned} bc'&=b'c \\ ab'+bd'&=a'b+b'd \\ ca'+dc'&=c'a+d'c \end{aligned}\right.

この条件はこれ以上は簡単になりません。これを満たす行列も色々なパターンがあります。

パターンを網羅するのは難しいですが、1つだけ、単位行列がこの条件を満たすことを確認します。

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
\left\{\begin{aligned} bc'&=b'c \\ ab'+bd'&=a'b+b'd \\ ca'+dc'&=c'a+d'c \end{aligned}\right. ~→~ \left\{\begin{aligned} 0&=0 \\ b'&=b' \\ c'&=c' \end{aligned}\right.

単位行列は任意の行列と交換することが分かります。