冪乗を求めるために作った行列を、四元の半群として考えてみます。

【注意】この記事は独自の調査に基づいており、一般的な内容ではありません。

シリーズの記事です。

目次

生成

基底を減らす

乗積表

積

漸化式

応用

生成

二次の非正則行列 $B$ と冪零行列 $C$ で生成される代数系を考えます。

$B$ の2乗はトレースを掛けることと同じで、$C$ の2乗は $O$ です。

B^2=\operatorname{tr}(B)B,\ C^2=O

冪零行列は非正則です。非正則行列同士の積は非正則となるため $BC$ も $CB$ も非正則です。そのため $BC$ と $CB$ の2乗もそれらのトレースを掛けるのと同じです。

(BC)^2=\operatorname{tr}(BC)BC, \ (CB)^2=\operatorname{tr}(CB)CB

トレースの性質より $\operatorname{tr}(BC)=\operatorname{tr}(CB)$ です。表記の都合上1文字で置き換えます。

b=\operatorname{tr}(B), \ c=\operatorname{tr}(BC)=\operatorname{tr}(CB) \\ B^2=bB,\ (BC)^2=cBC,\ (CB)^2=cCB

$BC$ や $CB$ の2乗の中間に当たる $BCB$ や $C BC$ も他とは区別されます。

そのため $B$ と $C$ で生成される代数系は以下の6つの基底を持ちます。

B,C,BC,CB,BCB,CBC

基底を減らす

$B$ を成分表示します。

B=\begin{pmatrix}b_1&b_2\\b_3&b_4\end{pmatrix}

$B$ は非正則のため次の関係が成り立ちます。

b_1b_4-b_2b_3=0

$C$ を次のように取れば $C BC$ は $C$ の定数倍となります。

\begin{aligned} C&=\begin{pmatrix}0&0\\c_3&0\end{pmatrix} \\ CB &=\begin{pmatrix}0&0\\c_3&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}b_1&b_2\\b_3&b_4\end{pmatrix} \\ &=c_3\begin{pmatrix}0&0\\b_1&b_2\end{pmatrix} \\ CBC &=c_3\begin{pmatrix}0&0\\b_1&b_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&0\\c_3&0\end{pmatrix} \\ &=c_3\begin{pmatrix}0&0\\b_2c_3&0\end{pmatrix} \\ &=\underbrace{b_2c_3}_{\operatorname{tr}(CB)}C \\ &=cC \end{aligned}

基底が少ない方が簡単になるため、$C$ はこの形を採用します。

※ $-c$ は $B+C$ の行列式になっています。

\operatorname{det}(B+C)=b_1b_4-b_2(b_3+c_3)=\underbrace{b_1b_4-b_2b_3}_0-b_2c_3=-c

次に $BCB$ を確認します。

\begin{aligned} BC &=\begin{pmatrix}b_1&b_2\\b_3&b_4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&0\\c_3&0\end{pmatrix} \\ &=c_3\begin{pmatrix}b_2&0\\b_4&0\end{pmatrix} \\ BCB &=c_3\begin{pmatrix}b_2&0\\b_4&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}b_1&b_2\\b_3&b_4\end{pmatrix} \\ &=c_3\begin{pmatrix}b_2b_1&b_2^2\\b_4b_1&b_4b_2\end{pmatrix} \\ &=c_3\begin{pmatrix}b_2b_1&b_2^2\\\underbrace{b_2b_3}_{b_1b_4-b_2b_3=0}&b_4b_2\end{pmatrix} \\ &=\underbrace{b_2c_3}_{\operatorname{tr}(BC)}B \\ &=cB \end{aligned}

よって、以後は4つの基底で考えます。

B,C,BC,CB

BCB=cB,\ CBC=cC

※ $c=1$ のときに擬似逆行列に似た関係になります。

乗積表

係数を別にすれば4つの基底は積で閉じています。

	$B$	$C$	$BC$	$CB$
$B$	$b B$	$BC$	$b BC$	$c B$
$C$	$CB$	$O$	$c C$	$O$
$BC$	$c B$	$O$	$c BC$	$O$
$CB$	$b CB$	$c C$	$bc C$	$c CB$

16 種類の組み合わせのうち 4 種類が $O$ になります。

単位元はないため、可逆元もありません。結合的であるため半群です。

※ 未確認ですが、半群論を調べると似たようなものが出て来るのかもしれません。

乗積表を逆にして、積として得られる基底が何に由来するかをまとめます。

\begin{aligned} B&=\frac1b(B)(B)=\frac1c(B)(CB)=\frac1c(BC)(B) \\ C&=\frac1c(C)(BC)=\frac1c(CB)(C)=\frac1c(CB)(BC) \\ BC&=(B)(C)=\frac1b(B)(BC)=\frac1c(BC)(BC) \\ CB&=(C)(B)=\frac1b(CB)(B)=\frac1c(CB)(CB) \end{aligned}

積

係数を付けて積を計算します。

\begin{aligned} &(a_1B+a_2C+a_3BC+a_4CB)(a'_1B+a'_2C+a'_3BC+a'_4CB) \\ &=a_1B(a'_1B+a'_2C+a'_3BC+a'_4CB) \\ &\ +a_2C(a'_1B+a'_2C+a'_3BC+a'_4CB) \\ &\ +a_3BC(a'_1B+a'_2C+a'_3BC+a'_4CB) \\ &\ +a_4CB(a'_1B+a'_2C+a'_3BC+a'_4CB) \\ &=a_1a'_1bB+a_1a'_2BC+a_1a'_3bBC+a_1a'_4cB \\ &\ +a_2a'_1CB+0+a_2a'_3cC+0 \\ &\ +a_3a'_1cB+0+a_3a'_3cBC+0 \\ &\ +a_4a'_1bCB+a_4a'_2CBC+a_4a'_3bcC+a_4a'_4cCB \\ &=(a_1a'_1b+a_1a'_4c+a_3a'_1c)B \\ &\ +(a_2a'_3+a_4a'_2+a_4a'_3b)cC \\ &\ +(a_1a'_2+a_1a'_3b+a_3a'_3c)BC \\ &\ +(a_2a'_1+a_4a'_1b+a_4a'_4c)CB \end{aligned}

係数の付き方に癖がありますが、項の分布は均一です。

漸化式

この代数系は、もともと二次の正則行列 $A$ の冪乗を求めるため、$B+C$ に分割する過程で見付かりました。

A^n=(B+C)^n

そのため $B+C$ を掛けることが重要で、その様子を見てみます。

\begin{aligned} &(a_1B+a_2C+a_3BC+a_4CB)(B+C) \\ &=a_1B(B+C)+a_2C(B+C)+a_3BC(B+C)+a_4CB(B+C) \\ &=a_1bB+a_1BC+a_2CB+0+a_3cB+0+a_4bCB+a_4cC \\ &=(a_1b+a_3c)B+a_4cC+a_1BC+(a_2+a_4b)CB \end{aligned}

冪乗の世代をコンマ付きの添え字で表すと、係数の漸化式が立てられます。

\begin{aligned} a_{1,1}&=1,&a_{1,n}&=a_{1,n-1}b+a_{3,n-1}c \\ a_{2,1}&=1,&a_{2,n}&=a_{4,n-1}c \\ a_{3,1}&=0,&a_{3,n}&=a_{1,n-1} \\ a_{4,1}&=0,&a_{4,n}&=a_{2,n-1}+a_{4,n-1}b \end{aligned}

漸化式の形にすると、$a_1,a_3$ と $a_2,a_4$ の2つの系列に分かれて、それらは混ざらないことが分かります。また、$a_2,a_3$ は1世代前の $a_1,a_4$ を引き継いでいるため、$a_1,a_4$ は2世代前を指す漸化式が立てられます。

\begin{aligned} a_{1,1}&=1,&a_{1,2}&=b,&a_{1,n}&=a_{1,n-2}c+a_{1,n-1}b \\ a_{4,1}&=0,&a_{4,2}&=1,&a_{4,n}&=a_{4,n-2}c+a_{4,n-1}b \end{aligned}

$a_1$ と $a_4$ は初期値が違うだけで漸化式は同じです。$a _ {4,3}$ を計算します。

a_{4,3}=a_{4,1}c+a_{4,2}b=0c+1b=b

これは $a_1$ と $a_4$ が1世代ずれていることを意味します。

a_{4,n}=a_{1,n-1}

以上をまとめると、$a_1$ はフィボナッチ数列のように計算すれば良く、残りは付随して値が決まることが分かりました。便宜上、第0世代を導入します。

\begin{aligned} a_{1,0}&=0,&a_{1,1}&=1,&a_{1,n}&=a_{1,n-2}c+a_{1,n-1}b \\ &&a_{2,1}&=1,&a_{2,n}&=a_{1,n-2}c \\ &&&&a_{3,n}&=a_{1,n-1} \\ &&&&a_{4,n}&=a_{1,n-1} \end{aligned}

※ $\operatorname{det}(A)=-c$ より $a_1$ の漸化式はケイリー・ハミルトンの定理のものと同一です。

$a_3=a_4$ より $BC+CB$ としてまとめられ、項が3つに減ります。

5乗までを展開してみます。

\begin{aligned} (B+C)^2&=bB+BC+CB \\ (B+C)^3&=(b^2+c)B+cC+b(BC+CB) \\ (B+C)^4&=(b^3+2bc)B+bcC+(b^2+c)(BC+CB) \\ (B+C)^5&=(b^4+3b^2c+c^2)B+(b^2c+c^2)C+(b^3+2bc)(BC+CB) \end{aligned}

漸化式を利用することで、かなり簡単になりました。