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行列表現と外積と行列式

逆行列から行列式を抽出して、行列表現や外積で解釈します。

シリーズの記事です。

  1. 一次変数変換と行列の積
  2. 単位行列と逆行列
  3. 掃き出し法と逆行列
  4. 行列の積の性質
  5. 行列の演算
  6. ケイリー・ハミルトンの定理
  7. 零行列と冪零行列
  8. 冪零行列と二重数
  9. 零因子ペアの生成
  10. 三種類の二元数
  11. 分解型四元数と同型対応
  12. 分解型四元数と幾何代数
  13. 行列表現と外積行列式 ← この記事

目次

実数

単位行列は掛けても変化しない性質が $1$ に似ていることから、実数は単位行列の定数倍として行列で表現できます。

a\ ↦\ aI=\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}

複素数などの行列表現で既に使っていますが、念のため明確にしました。

行列式

逆行列の分母に $ad-bc$ が表れます。この意味を考えます。

\tag{1} \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1} =\frac1{\textcolor{red}{ad-bc}} \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}

実数の行列表現では、逆行列は逆数に対応します。

\tag{2} \begin{aligned} a^{-1}&=\frac1a \\ \begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}^{-1} &=\frac1{\textcolor{red}{a^2}}\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix} =\frac1aI \end{aligned}

$(1)$ と $(2)$ の赤字部分より、行列の大きさを示す量があって、その2乗が $ad-bc$ ではないかと推測できます。

実際、複素数の行列表現の逆行列では絶対値の2乗が分母に現れます。(赤字部分)

\begin{aligned} |a+bi|^2&=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2 \\ (a+bi)^{-1}&=\frac{a-bi}{|a+bi|^2} \\ \begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}^{-1} &=\frac1{\textcolor{red}{|a+bi|^2}}\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix} \end{aligned}

複素数の逆数で分子にある $a-bi$ は $a+bi$ と同じ大きさ(絶対値)を持っているため、分母が2乗のままになっています。行列でも事情が同じだと考えれば、逆行列に大きさの2乗が表れていることは納得できます。

このように $ad-bc$ は行列の大きさの2乗を表していると解釈できます。これを行列式と呼びます。

行列式にはいくつか表記法があります。$\det$ による方法、行列を絶対値の記号で囲む方法、絶対値の中の行列の括弧を省略する方法です。どれを使うかは好みですが、どれも使われるため知っておく必要があります。

行列式
\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} =\left|\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\right| =\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} =ad-bc

行列式は数値を表すため、分数の分母に書くこともあります。

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1} =\frac1{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}} \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}

なお、行列式は大きさの2乗だと解釈しましたが、これは現在扱っているのが二次正方行列だからです。三次正方行列では3乗になります。このように何乗であるかは行列のサイズに依存しますが、行列式を扱うときは何乗であるかを意識しないことがほとんどです。

絶対値の2乗

表現行列の行列式は、表現された代数の絶対値の2乗と等しいです。

\begin{alignedat}{4} &\text{実数}&&|a|^2&&=\begin{vmatrix}a&0\\0&a\end{vmatrix}&&=a^2 \\ &\text{二重数}&&|a+bε|^2&&=\begin{vmatrix}a&0\\b&a\end{vmatrix}&&=a^2 \\ &\text{複素数}&&|a+bi|^2&&=\begin{vmatrix}a&-b\\b&a\end{vmatrix}&&=a^2+b^2 \\ &\text{分解型複素数}&&|a+bj|^2&&=\begin{vmatrix}a&b\\b&a\end{vmatrix}&&=a^2-b^2 \\ &\text{分解型四元数}\quad&&|a+bi+cj+dk|^2&&=\begin{vmatrix}a-d&-b+c\\b+c&a+d\end{vmatrix}&&=a^2+b^2-c^2-d^2 \end{alignedat}

分解型複素数や分解型四元数は絶対値の2乗が負になることがあります。空間計量という概念と関係がありますが、いずれ機会を改めて取り上げる予定です。

また、二重数の $ε$ は無限小量のため絶対値に反映されないと解釈できます。

外積

行列に対応する一次変数変換を示します。

\begin{cases} x=ax'+by' \\ y=cx'+dy' \end{cases} \quad \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}

この連立方程式で横方向の単位ベクトルと縦方向の単位ベクトルを変換します。

\begin{aligned} &横方向&(x',y')&=(1,0)&&→&(x,y)&=(a,c) \\ &縦方向&(x',y')&=(0,1)&&→&(x,y)&=(b,d) \end{aligned}
f:id:n7shi:20191128014041p:plain

変換後の2本のベクトルが張る平行四辺形の面積を外積で計算すると、$i$ の係数から行列式が得られます。行列を左右に分割してベクトルを2本取り出していると解釈できます。

\det\left(\begin{array}{c|c}a&b\\c&d\end{array}\right) \ ↦\ (ak+cj)∧(bk+dj)=(ad-bc)i
f:id:n7shi:20191128011414p:plain

つまり行列式は行列の成分が表す2本のベクトルで張られる平行四辺形の向き付き面積で、これは変換によって面積が何倍になるかを示します。行列を定数倍すれば1辺が定数倍になって、面積はその2乗倍となります。

\left|n\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\right| =\begin{vmatrix}na&nb\\nc&nd\end{vmatrix} =n^2(ad-bc)

※ $n=-1$ のとき $n ^ 2=1$ となるため、行列式には影響しないことが分かります。

$ad-bc$ より、行列における $a$ と $d$ や、$b$ と $c$ の位置を入れ替えても行列式には影響しません。また、ベクトルを取り出すのに行列を上下に分割しても行列式は変わりません。

\det\left(\begin{array}{cc}a&b\\\hline c&d\end{array}\right) \ ↦\ (ak+bj)∧(ck+dj)=(ad-bc)i

行列式外積と関連付けると、行列のサイズが大きくなったときに計算方法を工夫するのに役立ちます。いずれ機会を改めて取り上げる予定です。

逆行列行列式

逆行列行列式を計算します。

\left|\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}\right| =\frac1{(ad-bc)^2}\left|\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\right| =\frac1{ad-bc}

元の行列式の逆数となりました。行列式が行列の大きさで、逆行列が逆数に対応するという解釈に合います。

積と行列式

行列の積の逆行列には、分母に個々の行列式の積が現れます。(赤字部分)

\begin{aligned} \left\{ \begin{pmatrix}a &b \\c &d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix} \right\}^{-1} &=\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}a &b \\c &d \end{pmatrix}^{-1} \\ &=\frac1{\textcolor{red}{(a'd'-b'c')(ad-bc)}} \begin{pmatrix}d'&-b'\\-c'&a'\end{pmatrix} \begin{pmatrix}d &-b \\-c &a \end{pmatrix} \end{aligned}

このことから、行列の積の行列式は、個々の行列式の積と等しいことが分かります。

\left| \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix} \right| =\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} \begin{vmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{vmatrix}

念のため確認します。

\begin{aligned} \left| \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix} \right| &=\begin{vmatrix}aa'+bc'&ab'+bd'\\ca'+dc'&cb'+dd'\end{vmatrix} \\ &=(aa'+bc')(cb'+dd')-(ab'+bd')(ca'+dc') \\ &=aa'cb'+aa'dd'+bc'cb'+bc'dd' \\ &\quad-ab'ca'-ab'dc'-bd'ca'-bd'dc' \\ &=aa'dd'+bc'cb'-ab'dc'-bd'ca' \\ &=ad(a'd'-b'c')-bc(a'd'-b'c') \\ &=(ad-bc)(a'd'-b'c') \\ \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} \begin{vmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{vmatrix} &=(ad-bc)(a'd'-b'c') \end{aligned}

個々に行列式を求めて積を計算した方が簡単です。

行列式は大きさに相当するため、個々の大きさを掛けられると解釈できます。