概要

p-ベクトル $α$ と q-ベクトル $β$ の左内積を定義します。

α⊏β:=(-1)^{p(q-1)}\star^{-1}(α∧\star β)

符号を無視すれば基底の差集合です。イメージを示します。

α⊏β\ →\ β-α

r-ベクトル $γ$ を追加して、左内積をネストさせます。

α⊏(β⊏γ)\ →\ (γ-β)-α=γ-β-α

次のように読み替えられないでしょうか。

γ-β-α=γ-(α+β)\ →\ (α∧β)⊏γ

この発想で以下を示すのが今回の目的です。

α⊏(β⊏γ)=(α∧β)⊏γ

左内積は結合則を満たさないことが察せられます。

導出

r-ベクトル $γ$ の基底の添え字を $i _ 1⋯i _ r$ とします。

γ=e_{i_1}⋯e_{i_r}

左内積が $0$ にならない条件より、$α$ と $β$ の基底は $γ$ の基底に含まれ、$α$ と $β$ に共通する基底はありません。

p-ベクトル $α$ と q-ベクトル $β$ の基底の添え字を $i _ {a _ 1}⋯i _ {a _ p},\ i _ {b _ 1}⋯i _ {b _ q}$ として、それぞれ相異なる $i _ 1⋯i _ r$ の要素を指します。まとめて $i _ a,\ i _ b$ と表記します。

縮約できるように $γ$ の基底を並べ替えて $γ'$ とします。ハットは取り除かれた要素を表し、実際にはバラバラに存在していますが便宜上まとめます。チルダは逆順です。

\begin{aligned} σ&=\left(\begin{matrix} i_1&⋯&⋯&⋯&⋯&⋯&⋯&⋯&&&⋯&i_n \\ i_{b_q}&⋯&i_{b_1}&i_{a_p}&⋯&i_{a_1}&i_1&⋯&\widehat{i_a}&\widehat{i_b}&⋯&i_n \end{matrix}\right) \\ γ'&=\mathrm{sgn}(σ)γ \\ &=\mathrm{sgn}(σ)e_{i_1}⋯e_{i_r} \\ &=e_{i_{b_q}}⋯e_{i_{b_1}}e_{i_{a_p}}⋯e_{i_{a_1}}e_{i_1}⋯\widehat{e_{i_a}}\,\widehat{e_{i_b}}⋯e_{i_n} \\ &=\tilde β\tilde α e_{i_1}⋯\widehat{e_{i_a}}\,\widehat{e_{i_b}}⋯e_{i_n} \end{aligned}

$γ'$ を使って $α⊏(β⊏γ)=(α∧β)⊏γ$ を示します。

\begin{aligned} α⊏(β⊏γ) &=\mathrm{sgn}(σ)α⊏(β⊏γ') \\ &=\mathrm{sgn}(σ)α⊏\{β⊏(\tilde β\tilde α e_{i_1}⋯\widehat{e_{i_a}}\,\widehat{e_{i_b}}⋯e_{i_n})\} \\ &=\mathrm{sgn}(σ)|β|^2α⊏(\tilde α e_{i_1}⋯\widehat{e_{i_a}}\,\widehat{e_{i_b}}⋯e_{i_n}) \\ &=\mathrm{sgn}(σ)|α|^2|β|^2e_{i_1}⋯\widehat{e_{i_a}}\,\widehat{e_{i_b}}⋯e_{i_n} \\ (α∧β)⊏γ &=\mathrm{sgn}(σ)(α∧β)⊏γ' \\ &=\mathrm{sgn}(σ)(αβ)⊏(\tilde β\tilde α e_{i_1}⋯\widehat{e_{i_a}}\,\widehat{e_{i_b}}⋯e_{i_n}) \\ &=\mathrm{sgn}(σ)|α|^2|β|^2e_{i_1}⋯\widehat{e_{i_a}}\,\widehat{e_{i_b}}⋯e_{i_n} \\ &=α⊏(β⊏γ) \end{aligned}

クリフォード代数の手法で計算できるため、並べ替えて符号を括り出せば直観的に縮約できます。

左内積の結合を変更するとウェッジ積に交換すると解釈できます。