6 年前から読もうと思っていたケーラーの論文をようやく入手しました。👉経緯
- Kähler, v. (2011). Der innere Differentialkalkül. In: Segre, B. (eds) Forme differenziali e loro integrali. C.I.M.E. Summer Schools, vol 22. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-10952-2_6
Claude 3 に読み込ませて、要約しました。全体の要約は Opus、章ごとの要約は Sonnet で行いました。
【注意】AI の説明には誤りが含まれる可能性があり、正確さは保証できません。詳細は原論文を確認してください。
（数式が原論文にあるか確認中）8/28
目次
原文はドイツ語です。序文と見出しは、原文・英訳・日本語訳を示します。
序文
Wenn eine Metrik vorliegt, wie es in der Physik der Fall ist und in der Funktionentheorie sich als fruchtbare Voraussetzung erwiesen hat, gewinnt der äussere Differentialkalkül ein rechnerisch nahezu ebenso einfaches Spiegelbild, den inneren Differentialkalkül.
When a metric is given, as is the case in physics and has proven to be a fruitful assumption in function theory, the exterior differential calculus gains an almost equally simple computational mirror image, the interior differential calculus.
物理学の場合のように計量が与えられ、関数論において有益な仮定であることが証明されたとき、外微分計算は、ほぼ同等に単純な計算上の鏡像である内微分計算を獲得する。
Was ich darüber bei einem Lehrgang des Centro Internazionale Matematico Estivo im September 1960 in Vallombrosa vorgetragen hatte, findet in der vorliegenden Abhandlung ausführliche nnd reifere Darstellung. Die grosse Verzögerung dieser Veröffentlichung erklärt sich aus der erfreulichen Tatsache, dass jeder Versuch einer Ausarbeitung jener Vorträge neue Vereinfachungen ergab mit dem Erfolg, dass insbesondere meine in den Abhandlungen der Berliner Akademie veröffentlichte Untersuchung der Dirac-Gleichung nunmehr als überholt anzusehen ist.
What I had presented about this in a course at the International Mathematical Summer Center in September 1960 in Vallombrosa finds a detailed and more mature presentation in the present treatise. The considerable delay in this publication is explained by the gratifying fact that every attempt at an elaboration of those lectures yielded new simplifications with the result that, in particular, my investigation of the Dirac equation published in the Berlin Academy Treatises is now to be regarded as obsolete.
私が1960年9月にヴァッロンブローザで開催された国際数学サマーセンターの講座でこのことについて発表した内容は、本論文でより詳細で成熟したものとなった。この出版が大幅に遅れたのは、これらの講義をさらに詳しく説明しようとした結果、新たな簡素化につながったという喜ばしい事実によるものであり、特にベルリンアカデミー紀要で発表されたディラック方程式に関する私の研究は今では時代遅れと見なされる。
Da der innere Differentialkalkül seine Bewährungsprobe in der Quanten- und Relativitätstheorie zu bestehen hat, muss er dem Physiker zugänglich sein, weshalb es mir zweckmässig schien, auch über den äusseren Differentialkalkül mehr zu sagen, als zur Vorbereitung des inneren Kalküls notwendig gewesen wäre.
Since the interior differential calculus has to stand its test in quantum and relativity theory, it must be accessible to the physicist, which is why it seemed appropriate to me to say more about the exterior differential calculus than would have been necessary to prepare the interior calculus.
内微分計算は量子論と相対性理論での検証に耐えなければならないため、物理学者にとってアクセス可能なものでなければならず、そのため内部(積)計算を準備するために必要である以上、外微分計算について述べることが適切だと思われた。
Gern hatte ich, wenn mehr Zeit geblieben wäre ein viertes Kapitel der funktionentheoretischen Seite des inneren Kalküls gewidmet, was nunmehr einer anderen Arbeit vorbehalten bleiben muss.
I would have gladly devoted a fourth chapter to the function-theoretic side of the interior calculus if more time had remained, which must now be reserved for another work.
もっと時間が残っていれば、内部(積)計算の関数論的側面に第Ⅳ部を割きたかったが、それはまた別の著作に譲ることにする。
Ein Inhaltsverzeichnis ersetze den fälligen einleitenden Bericht über die Untersuchung, und eine Formelsammlung am Ende der Abhandlung erleichtere die Anwendung des neuen Kalküls.
A table of contents should replace the overdue introductory report on the investigation, and a collection of formulas at the end of the treatise should facilitate the application of the new calculus.
目次は、期限を過ぎた調査の序文に代わるべきものであり、論文の最後に数式をまとめておくことで、新しい微積分の応用が容易になる。
Herrn SEGRE habe ich nicht nur für sein freundschaftliches Interesse an meiner Arbeit, sondern auch für die Geduld zu danken, mit der er die vorliegende Niederschrift immer wieder gefordert hat. Es tut mir wohl, nun dooh noch zurecht zu kommen, um mit dieser Arbeit für die schönen, anregenden Tage von Vallombrosa, die mir insbesondere durch Herrn BOMPIANIS freundliches Eingehen auf meine Versuche unvergesslich bleiben werden, meinen Dank zu sagen.
I have to thank Mr. Segre not only for his friendly interest in my work, but also for the patience with which he has repeatedly demanded the present written account. It pleases me to still make it in time with this work to express my gratitude for the beautiful, stimulating days in Vallombrosa, which will remain unforgettable to me especially through Mr. Bompiani's friendly engagement with my attempts.
私は、セグレ氏に対して、私の研究に好意的に興味を持ってくれたことだけでなく、この執筆報告を何度も繰り返し要求してくれた忍耐にも感謝しなければならない。この仕事のおかげで、ヴァッロンブローザでの美しく刺激的な日々に対する感謝の気持ちを伝えるのに間に合い、特にボンピアーニ氏が私の試みに親身になってくれたおかげで、私にとって忘れられないものとなったことを嬉しく思う。
章構成
| 部 | 章 | 見出し | 概要 |
|---|---|---|---|
| Ⅰ | DIFFERENTIALE UND DIFFERENTIALTENSOREN Differentials and Differential Tensors 微分と微分テンソル |
微分形式と微分テンソルの基本的な性質が論じられ、外部積、外微分、曲率、共変微分などの概念が導入される。 | |
| 1 | Äussere Multiplikation Exterior Multiplication 外部積 |
外部積の定義と性質が述べられる。微分形式の外部積は反対称で結合法則を満たす。 | |
| 2 | Invarianz der äusseren Multiplikation Invariance of Exterior Multiplication 外部積の不変性 |
座標変換に対する外部積の不変性が示される。これは外部積が幾何学的に意味を持つ操作であることを意味する。 | |
| 3 | Äussere Differentiation Exterior Differentiation 外微分 |
外微分の定義と性質が述べられる。外微分は微分形式に作用し、次数を1上げる演算である。外微分は反対称性と結合法則を満たす。 | |
| 4 | Differentiation nach Basisdifferentialen Differentiation by Basic Differentials 基底微分形式による微分 |
基底微分形式による微分の定義と性質が述べられる。これは座標系に依存した微分の概念である。 | |
| 5 | Differentialtensoren Differential Tensors 微分テンソル |
微分テンソルの定義が与えられる。微分テンソルは座標変換に対して一定の変換則に従う微分形式の組である。 | |
| 6 | Äussere Differentiation von Differentialtensoren Exterior Differentiation of Differential Tensors 微分テンソルの外微分 |
微分テンソルに外微分を施す操作が定義される。この操作は座標変換に対して不変である。 | |
| 7 | Krümmungsdifferentiale Curvature Differentials 曲率微分 |
曲率テンソルから曲率微分形式が構成される。曲率微分形式の性質が述べられる。 | |
| 8 | Relationen zwischen kovarianten Ableitungen Relations between Covariant Derivatives 共変導関数間の関係 |
共変微分の間の関係式が導出される。これはリーマン幾何学における重要な公式である。 | |
| Ⅱ | DER INNERE DIFFERENTIALKALKÜL The Interior Differential Calculus 内微分演算 |
内部積と内微分の理論が展開され、外微分とは異なる構造が導入される。内部積は外部積とは異なる積構造を与え、内微分は外微分と相補的な役割を果たす。 | |
| 9 | Innere Multiplikation Interior Multiplication 内部積 |
内部積の定義と性質が述べられる。内部積は微分形式に作用し、次数を下げる演算である。内部積は双線形性を満たすが、反対称性は満たさない。 | |
| 10 | Der innere Differentialring The Interior Differential Ring 内微分環 |
内部積を用いて内微分環が定義される。内微分環は外部積とは異なる積構造を持つ微分形式の環である。 | |
| 11 | Innere Differentiation Interior Differentiation 内微分 |
内微分の定義と性質が述べられる。内微分は内部積と外微分を組み合わせた演算である。内微分は次数を変えない。 | |
| 12 | Der Operator $δδ = Δ$The Operator $δδ = Δ$作用素 $δδ = Δ$ |
作用素 $δδ$ の性質が調べられる。この作用素はラプラス・ベルトラミ作用素と一致することが示される。 |
|
| 13 | Konstante Differentiale Constant Differentials 定微分 |
定微分形式の定義と性質が述べられる。定微分形式は内微分に関して不変な微分形式である。 | |
| 14 | Dualität Duality 双対性 |
微分形式の双対性が定義される。これは内部積と体積形式を用いて定義される操作である。 | |
| 15 | Skalarprodukte Scalar Products スカラー積 |
スカラー積の定義と性質が述べられる。スカラー積は内部積と体積形式を用いて定義されるエルミート形式である。 | |
| Ⅲ | DIRAC-GLEICHUNGEN Dirac Equations ディラック方程式 |
内微分の理論を用いてディラック方程式が定式化され、その解の性質が詳しく論じられる。 | |
| 16 | Lie-Operatoren im äusseren Differentialkalkül Lie Operators in the Exterior Differential Calculus 外微分演算におけるリー作用素 |
外微分計算におけるリー微分の定義と性質が述べられる。リー微分は微分形式に作用する作用素で、ベクトル場から定まる。 | |
| 17 | Lie-Operatoren im inneren Differentialkalkül Lie Operators in the Interior Differential Calculus 内微分演算におけるリー作用素 |
内微分計算におけるリー微分の定義と性質が述べられる。内部微分に関するリー微分の振る舞いが調べられる。 | |
| 18 | Differentialmatrizen Differential Matrices 微分行列 |
微分形式から行列を構成する方法が述べられる。この行列を用いることで、微分形式に関する計算が行列の計算に帰着される。 | |
| 19 | Dirac-Gleichungen und ihre Integrale Dirac Equations and their Integrals ディラック方程式とその積分 |
ディラック方程式が定式化される。ディラック方程式は内部微分を用いて表される線形偏微分方程式である。ディラック方程式の積分が定義され、その性質が調べられる。 | |
| 20 | Adjungierte Dirac-Gleichung Adjoint Dirac Equation 随伴ディラック方程式 |
ディラック方程式の随伴方程式が定義される。随伴方程式の解はディラック方程式の解と一定の直交関係を満たす。 | |
| 21 | Harmonische und streng harmonische Differentiale Harmonic and Strictly Harmonic Differentials 調和微分および厳密調和微分 |
調和微分形式と厳密調和微分形式が定義されている。これらはディラック方程式の特殊な解である。 | |
| 22 | Integrale der Dirac-Gleichung $δu = 0$ im dreidimensionalen euklidischen RaumeIntegrals of the Dirac Equation $δu = 0$ in Three-dimensional Euclidean Space3次元ユークリッド空間における $δu = 0$ ディラック方程式の積分 |
3次元ユークリッド空間におけるディラック方程式の積分が具体的に構成される。 | |
| 23 | Differentiale, die im ganzen euklidischen Raume ausser im Punkte $(0, 0, 0)$ streng harmonisch sindDifferentials that are Strictly Harmonic in the Entire Euclidean Space Except at the Point $(0, 0, 0)$点 $(0, 0, 0)$ 以外のユークリッド空間全体での厳密調和微分 |
原点以外の全ユークリッド空間で定義された厳密調和微分形式が調べられる。 | |
| 24 | Kugeldifferentiale Spherical Differentials 球面微分 |
球面調和関数から球面微分形式が構成される。球面微分形式を用いることで、ディラック方程式が変数分離できることが示される。 | |
| 25 | Dirac-Gleichungen in Raum und Zeit Dirac Equations in Space and Time 時空におけるディラック方程式 |
ミンコフスキー時空におけるディラック方程式が定式化される。 | |
| 26 | Die Dirac-Gleichung des Elektrons The Dirac Equation of the Electron 電子のディラック方程式 |
電磁場中の電子を記述するディラック方程式が導入される。 | |
| 27 | Das Elektron im Coulomb-Felde The Electron in the Coulomb Field クーロン場における電子 |
クーロン場中の電子のディラック方程式が論じられる。球面微分形式を用いた変数分離が行われる。 | |
| 28 | Kugelsymmetrische Dirac-Gleichung bei kugelsymmetrischer Metrik Spherically Symmetric Dirac Equation with Spherically Symmetric Metric 球対称計量における球対称ディラック方程式 |
球対称計量における球対称ディラック方程式が考察される。球面微分形式による変数分離が一般的な設定で論じられる。 |
概要
この論文では、リーマン幾何学における内微分形式の理論が展開される。通常の外部微分形式に対し、内部積を用いて内微分形式が定義される。これにより、リーマン多様体上の調和微分形式やディラック方程式が統一的に扱えるようになる。
- 外微分、内微分、それらの基本性質が述べられる。
- 微分形式に作用する各種の作用素が導入され、それらの性質が調べられる。
- ディラック方程式が内微分形式を用いて定式化され、その解の構造が議論される。
- ディラック方程式の積分が定義され、性質が述べられる。
- 調和微分形式が定義され、性質が調べられる。
- ユークリッド空間における調和微分形式が具体的に構成される。
- 球対称ディラック方程式における変数分離が論じられる。
- ディラック方程式の物理的な解釈として、電子の理論への応用が簡単に触れられる。
以上のように、内微分形式を用いることで、リーマン幾何学と理論物理学における重要な対象が統一的に記述できることが示される。内微分は通常の外微分と相補的な役割を果たしており、両者を併用することで幾何学的対象の理解が深まる。
第Ⅰ部 微分と微分テンソル
ここでは、外微分形式の理論が展開される。
まず、外部積の定義と性質が述べられる。微分形式の外部積は反対称で結合法則を満たし、座標変換に対して不変である。これは外部積が幾何学的に意味を持つ操作であることを示す。
次に、外微分が定義される。外微分は微分形式に作用し、次数を1上げる演算である。また、基底微分形式による微分が導入され、これは座標系に依存した微分の概念であることが説明される。
続いて、微分テンソルの定義が与えられる。微分テンソルは座標変換に対して一定の変換則に従う微分形式の組である。微分テンソルに外微分を施す操作が定義され、この操作が座標変換に対して不変であることが示される。
さらに、曲率テンソルから曲率微分形式が構成される。曲率微分形式の性質が述べられ、特に曲率微分形式が満たす恒等式（ビアンキ恒等式）が導かれる。
最後に、接続係数とその性質が論じられる。接続係数は、共変微分を定義するために導入される量である。共変微分は、テンソルの微分を座標変換に対して不変な形で定義するための概念である。接続係数の変換則が与えられ、共変微分の間の関係式が導出される。これはリーマン幾何学における重要な公式の一つである。
1. 外部積
$n$ 次元空間の領域 $G$ で無限回微分可能な複素関数 $f(x^1, x^2, \cdots, x^m)$ から成る環 $A_0$ に、$m$ 個のシンボル $dx^1, dx^2, \cdots, dx^m$ を導入することで、次の性質を持つ環 $A$ が得られる。
$A$は$A_0$と$dx^1, dx^2, \cdots, dx^m$から生成される$A$においては$a \in A_0$と$i=1,2,\cdots,m$に対して
$dx^i\cdot1=dx^i,\ dx^i\cdot a=a\cdot dx^i,\ dx^i\cdot dx^k+dx^k\cdot dx^i=0$$a+\sum_{p=1}^m \sum_{i_1<\cdots<i_p} a_{i_1 \cdots i_p} \cdot dx^{i_1} \cdot dx^{i_2} \cdots dx^{i_p} = 0\quad(a,a_{i_1 \cdots i_p}\in A_0)$
ならば$a=0,\ a_{i_1 \cdots i_p} = 0$
このような環 $A$ が存在し、上記 3 条件により $A_0$ を不変にする同型を除いて一意に定まる。$A$ の積は $\wedge$ と記され外部積と呼ばれ、一方の被乗数が $A_0$ に属する場合は $\cdot$ も使える。$A$ の元を微分形式と呼ぶ。
各微分形式 $u$ は、係数 $a, a_{i_1\cdots i_p} \in A_0$ を用いて
u = a + \sum_{p=1}^m\frac{1}{p!}\sum_{i_1\cdots i_p}a_{i_1\cdots i_p}\cdot dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}
と表せる。ここで $a_{i_1\cdots i_p}$ は添字に関して反対称である。微分形式 $u$ が次数 $p$ の同次式であるためには、右辺で $p$ 個の $dx$ の積からなる項のみが現れればよい。このとき $A_0$ の元は次数 0 の同次微分形式である。$u$ の次数 $p$ の成分を $u_p$ とすると、$u = u_0 + u_1 + \cdots + u_m$ と表せる。
作用素 $\eta, \zeta$ を
\begin{aligned}
\eta u &= \sum_p (-1)^p \cdot u_p\\
\zeta u &= \sum_p (-1)^{\binom p2} \cdot u_p
\end{aligned}
と定義すると、これらは環 $A$ の自己同型写像と反自己同型写像になり、可換で二乗が恒等写像になる性質を持つ。
2. 外部積の不変性
微分可能性とは、明示的に別段の記述がない限り、すべての導関数の存在と連続性を意味する。
\sigma:\quad \sigma x^i = x^i (y^1, y^2, \cdots, y^n)(=x^i (y))\quad(i = 1, 2, \cdots, m)
という写像は、$n$ 次元空間の座標 $y$ における領域 $H$ から $m$ 次元空間の座標 $x$ における領域 $G$ への写像であり、関数 $x^i(y)$ が微分可能であるという意味において微分可能である。このような写像は、微分環 $A$ から微分環 $B$ への準同型 $\sigma:\quad A \rightarrow B$ を誘導する。$B$ は記号 $dy^1, dy^2, \cdots, dy^n$ から生成され、$A$ が $dx^i$ から $A_0$ 上に生成されるのと同様の方法で $B_0$ 上に生成される。
この準同型 $σ$ は、各 $f∈A$ に対して $(\sigma f)(y)=f(x(y))$ と割り当て、$dx^i$ に対して
\sigma (dx^i) = \sum_k \frac{\partial x^i}{\partial y^k} \cdot dy^k
を対応させることから得られる。さらに $σu$ は
σ(u+v)=σu+σv,\quad σ(u∧v)=σu∧σv
が成り立つことから、環準同型が得られる。
3. 外微分
$A_0$ の部分環において、関数 $f$ から全微分
df = \sum_{k=1}^n \frac{\partial f}{\partial x^k} \cdot dx^k
への移行は線形作用素 $d$ である。(1.1) の微分 $u$ について
du = da + \sum_{p=1}^m \frac{1}{p!} \sum_{i_1i_2 \cdots i_p} da_{i_1\cdots i_p} \wedge dx^{i_1} \wedge dx^{i_2} \wedge \cdots \wedge dx^{i_p}
と規定すれば、$d$ は微分環 $A$ 上の外微分の線形作用素となる。線形性に加え、
d(u \wedge v)= du \wedge v + \eta u \wedge dv \qquad (u,v \in A)
が成り立つ。すべての $u \in A$ について
d(du) = 0
が成り立つ。置換 $\sigma:\ \sigma x^i = x^i(y)$ による準同型写像を $\sigma$ とすると、外微分 $d$ はすべての $u \in A$ について
d\sigma u = \sigma du\qquad
が成り立つという意味で不変である。
4. 基底微分形式による微分
微分環 $A$ の任意の元 $u$ の表現は
u=\sum_{p=0}^m \frac{1}{p!}\cdot a_{i_1 \cdots i_p}\cdot dx^{i_1}\wedge \cdots \wedge dx^{i_p}
と書ける。反対称係数テンソル $a_{i_1 \dots i_p}$ の表現の一意性から、
e_ku=\sum_{p=0}^{m-1} \frac{1}{p!}\cdot a_{ki_1\cdots i_p}\cdot dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}
によって線形作用素 $e_k$ を定義する。これは $u$ を $dx^k$ で微分することを意味する。
$u = dx^k \wedge u' + u''$ と分解されるとき、$u'$ と $u''$ は $u$ で一意に定まり、$u' = e_k u$ である。これは任意の微分 $u,v$ に対する積の公式
e_k(u \wedge v) = e_k u \wedge v + \eta u \wedge e_k v
を証明する際に有用である。
作用素 $\eta,\zeta$ は置換 $\sigma$ に対して不変だが、$e_k = e_{x^k}$ は連鎖律の意味で共変である。作用素
g = dx^i \wedge e_i
は同次微分形式に次数を掛ける働きをし、任意の微分形式 $u,v$ に対し
g(u \wedge v) = gu \wedge v + u \wedge gv
が成り立つ。
5. 微分テンソル
微分可能な関数の環 $A_0$ 上の共変微分テンソル $u$ は、微分形式 $u_{x^ix^k\cdots x^l}$ の集合体であり、座標変換 $σ$ の下で、
\begin{aligned}
(\sigma u)_{y^ry^s\cdots y^t}&=\sum_{i,k,\cdots,l}\frac{\partial x^i}{\partial y^r}\frac{\partial x^k}{\partial y^s}\cdots\frac{\partial x^l}{\partial y^t}\sigma(u_{x^ix^k\cdots x^l})\in B \\
&(r,s,\cdots,t=1,2,\cdots,n)
\end{aligned}
のように変換する。任意の共変微分テンソル $u,v$ から、外部積 $u∧v$ が定義でき、加算 $u+v$、作用素 $η$ なども不変性を持って定義される。
\sigma(u+v)=\sigma u+\sigma v,\quad
(\eta u)_{i_1\cdots i_\lambda}=\eta u_{i_1\cdots i_\lambda}
反変微分テンソル $u^{x^{k_1}x^{k_2}\cdots x^{k_μ}}_{x^{i_1}x^{i_2}\cdots x^{i_λ}}$ は、座標変換の下で
(σu)^{y^{s_1}y^{s_2}\cdots y^{s_μ}}_{y^{r_1}y^{r_2}\cdots y^{r_λ}}
=\sum_{{}^{i_1\cdots i_λ}_{k_1 \cdots k_μ}}
\frac{∂x^{i_1}}{\partial y^{r_1}}\cdots\frac{∂x^{i_λ}}{\partial y^{r_λ}}
σ\left(\frac{∂y^{s_1}}{\partial x^{k_1}}\right)\cdots σ\left(\frac{∂y^{s_μ}}{\partial x^{k_μ}}\right)
σu^{x^{k_1}x^{k_2}\cdots x^{k_μ}}_{x^{i_1}x^{i_2}\cdots x^{i_λ}}
のように変換する。これらの微分テンソルに対しても、外部積、加算、作用素が同様に定義され、置換に関する不変性を持つ。成分が $p$ 次の同次微分形式であれば、そのテンソルは次数 $p$ の同次微分テンソルと呼ばれる。
(eu)^{k_1\cdots k_μ}_{hi_1\cdots i_λ}
=e_hu^{k_1\cdots k_μ}_{i_1\cdots i_λ}
=\sum_{p=0}^{m-1}\frac{1}{p!}\cdot a^{k_1\cdots k_μ}_{i_1\cdots i_λ\,hl_1\cdots l_p}\cdot dx^{l_1}\wedge\cdots\wedge dx^{l_p}
6. 微分テンソルの外微分
領域 $G$ において $|g_{ik}|\neq 0$ となる計量テンソル $g_{ik}$ が与えられるとき、クリストッフェル記号 $\Gamma^k_{ij}$ によってカルタンの微分形式 $\omega^k_i = \Gamma^k_{ij} \cdot dx^j$ を定義すれば、共変微分 $d_h(=d_{x^h})$ は
\begin{aligned}
d_h u^{k_1 \dots k_\mu}_{i_1 \dots i_\lambda}
&= \frac{\partial}{\partial x^h} u^{k_1 \dots k_\mu}_{i_1 \dots i_\lambda} - \omega^r_h \wedge e_r u^{k_1 \dots k_\mu}_{i_1 \dots i_\lambda} \\
&+ \Gamma^{k_1}_{hr} \cdot u^{r \dots k_\mu}_{i_1 \dots i_\lambda} + \dots + \Gamma^{k_\mu}_{hr} \cdot u^{k_1 \dots r}_{i_1 \dots i_\lambda} \\
&- \Gamma^r_{hi_1} \cdot u^{k_2 \dots k_\mu}_{i_1 \dots i_\lambda} - \dots - \Gamma^r_{hi_\mu} \cdot u^{k_1 \dots k_\mu}_{i_1 \dots r}
\end{aligned}
で与えられる。その特別な場合として、スカラー微分量 $u$ の共変微分は
d_h u = \frac{\partial u}{\partial x^h} - \omega^r_h \wedge e_r u
となる。微分テンソル $u$ の共変微分を、$u$ への作用素 $D$ の作用と解釈すれば
(Du)^{k_1 \dots k_\mu}_{hi_1 \dots i_\lambda}
= d_h u^{k_1 \dots k_\mu}_{i_1 \dots i_\lambda}
と表される。また、微分テンソル $u$ の外微分 $du$ の成分を示す。
\begin{aligned}
(du)^{k_1 \dots k_\mu}_{i_1 \dots i_\lambda}
&= d(u^{k_1 \dots k_\mu}_{i_1 \dots i_\lambda}) \\
&+ \omega^{k_1}_r \wedge u^{r \dots k_\mu}_{i_1 \dots i_\lambda} + \dots + \omega^{k_\mu}_r \wedge u^{k_1 \dots r}_{i_1 \dots i_\lambda} \\
&- \omega^r_{i_1} \wedge u^{k_1 \dots k_\mu}_{r \dots i_\lambda} - \dots - \omega^r_{i_\lambda} \wedge u^{k_1 \dots k_\mu}_{i_1 \dots r}.
\end{aligned}
7. 曲率微分
カルタンの微分形式 $\omega^i_k = \Gamma^i_{k l} \cdot dx^{l}$ の座標変換における振る舞いを記述するため、行列
G=(g_{ik}),\quad \omega=(\omega^i_k),\quad dx=(dx^i)
を定義する。$\omega$ は、方程式
dG = G \cdot \omega + {}^t \omega \cdot G,\quad \omega \wedge dx = 0
を満たす 1 次の同次微分から作られた唯一の行列と特徴づけられる。
$y$ 座標系における対応する行列 $\bar{G},\bar{\omega}$ については、
\begin{aligned}
\bar{G} &= {}^t A (\sigma G) A \\
d \bar{G} &= \bar{G} \cdot \bar{\omega} + {}^t \bar{\omega} \cdot \bar{G},\quad \bar{\omega} \wedge dy = 0 \\
\bar{\omega} &= A^{-1} \cdot dA + A^{-1} \cdot (\sigma \omega) \cdot A
\end{aligned}
となる。さらに行列 $\Omega = d\omega + \omega \wedge \omega$ を定義すれば、$\bar{\Omega} = A^{-1} (\sigma \Omega) \cdot A$ であり、$\Omega$ の成分 ${\Omega^i}_k = d\omega^i_k + \omega^i_r \wedge \omega^r_k$ は型 $\binom i k$ の微分テンソルの成分のように振る舞う。
この曲率微分 ${\Omega^i}_k$ は ${\Omega^i}_k \wedge dx^k = 0,\ \Omega \wedge dx = 0$ を満たし、${}^t \Omega \cdot G + G \cdot \Omega = 0$ または $\Omega_{ik} + \Omega_{ki} = 0,\ \Omega_{ik} = g_{il} {\Omega^l}_k$ が成り立つ。添字を上げ下げできることから $\Omega_{ik},{\Omega_i}^k,\Omega^{ik}$ の3種類が生じ、そのようにして得られるリーマン曲率テンソルの成分は
\Omega_{ij} = \frac{1}{2} R_{ijkl} \cdot dx^{k} \wedge dx^{l},\quad R_{ijkl} + R_{ijlk} = 0
と書ける。さらに、ビアンキ恒等式に相当する $d(\Omega) = \Omega \wedge \omega - \omega \wedge \Omega$ が導かれ、これは $d\Omega = 0$ を意味する。
8. 共変導関数間の関係
ある点 $P$ における微分形式の「値」とは、係数が $P$ における係数の値と等しい以下の微分形式のことである。
u(P) = a(P) + \sum_{p=1}^m \frac{1}{p!} a_{i_1 \dots i_p}(P) \cdot dx^{i_1} \wedge \dots \wedge dx^{i_p}
テンソル $\{u^{k_1 \dots k_\mu}_{i_1 \dots i_\lambda}\}$ の $P$ における値は、微分形式の系 $u^{k_1 \dots k_\mu}_{i_1 \dots i_\lambda}(P)$ である。2つの微分テンソル $u,v$ の値が領域 $G$ のすべての点で等しければ、$u=v$ である。
任意の点 $P$ の近傍では、正規座標を以下のように選ぶことができる。$g_{ik}(P)$ の負の符号の数は二次形式 $g_{ik} \cdot dx^i \cdot dx^k$ の慣性指数に等しい。
g_{ik}(P) = \pm \delta_{ik}, \quad \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l}(P) = 0
二重の共変微分 $d_l \, d_h \, u^{k_1 \dots k_\mu}_{i_1 \dots i_\lambda}$ からリッチ恒等式が導かれる。
\begin{aligned}
(d_i \, d_k - d_k \, d_i) \, u^{k_1 \dots k_\mu}_{i_1 \dots i_\lambda}
&= - {{R_{ik}}^r}_j \cdot dx^j \wedge e_r \, u^{k_1 \dots k_\mu}_{i_1 \dots i_\lambda} \\
&+ {{R_{ik}}^{k_1}}_r \cdot u^{r \dots k_\mu}_{i_1 \dots i_\lambda} + \dots + {{R_{ik}}^{k_\mu}}_r \, u^{k_1 \dots r}_{i_1 \dots i_\lambda} \\
&- {{R_{ik}}^r}_{i_1} \cdot u^{k_1 \dots k_\mu}_{r \dots i_\lambda} - \dots - {{R_{ik}}^r}_{i_\lambda} \cdot u^{k_1 \dots k_\mu}_{i_1 \dots r}
\end{aligned}
（ここまで数式チェック済）
第Ⅱ部 内微分演算
第Ⅱ部では、内部積と内微分の理論が展開される。
まず、内部積の定義と性質が述べられる。内部積は微分形式に作用し、次数を下げる演算である。内部積は双線形性を満たすが、外部積とは異なり反対称性は満たさない。内部積を用いて内微分環が定義される。内微分環は外部積とは異なる積構造を持つ微分形式の環である。
次に、内微分が定義される。内微分は内部積と外微分を組み合わせた演算で、次数を変えない演算である。内微分の定義と性質が詳しく論じられ、具体的な計算例が示される。
続いて、内微分に関連する作用素が導入される。特に、作用素 $δδ$ の性質が調べられ、この作用素がラプラス・ベルトラミ作用素と一致することが示される。これは、内微分が調和解析と深く関係することを示唆する。
さらに、定微分形式の概念が導入される。定微分形式は内微分に関して不変な微分形式で、重要な役割を果たす。また、微分形式の双対性が定義され、これは内部積と体積形式を用いて定義される操作である。
最後に、スカラー積が定義される。スカラー積は内部積と体積形式を用いて定義されるエルミート形式で、微分形式の幾何学的構造を反映する。さらに、スカラー積を用いてグリーンの公式が導かれる。グリーンの公式は、微分形式に対する積分定理の一つで、様々な応用を持つ。
9. 内部積
2 つの微分形式 $u, v$ に対して、内部積 $u\vee v$ が
u\vee v = \sum_r (-1)^r g^{i_ri_{r+1}}u_{i_1 \cdots i_r}v_{i_{r+1} \cdots i_p}
と定義される。ここで $g^{ij}$ はメトリックテンソルの逆である。この内部積は結合的である:
(u\vee v)\vee w = u\vee(v\vee w)
また、外部積との関係は
u\vee(v\wedge w) = (u\vee v)\wedge w + (-1)^pv\wedge(u\vee w)
と表される（$u$ が次数 $p$ の微分形式）。内部積は非可換である。
10. 内微分環
微分形式の環 $A$ に対して、内部積を乗法とみなすことで内微分環の構造が導入される。作用素 $η, ξ$ はこの環の自己同型、反自己同型となる。内部積と外部積の間には種々の公式が成り立つ。
内微分作用素 $δ$ も定義され、内部積・外部積との関係が導かれる。例えば、
(δu)\vee v = δ(u\vee v) - (-1)^pu\vee δv
などの公式が成り立つ。内微分も不変量である。
11. 内微分
(δu)^{i_1 \cdots i_\mu}_{j_1 \cdots j_\nu j_{\nu+1}} = dx^{j_{\nu+1}}\vee D_iu^{i_1 \cdots i_\mu}_{j_1 \cdots j_\nu}
と定義される。ここで $D$ は共変外微分である。内微分は次数を $+1$ する作用素と $-1$ する作用素の和となる。
内微分には以下のような公式が成り立つ:
δ(u\wedge v) = δu\wedge v + (-1)^pu\wedge δv + e_i u\wedge d_i v - (-1)^pe_i v\wedge d_i u
δ(u\vee v) = δu\vee v + (-1)^pu\vee δv + e_i u\vee d_iv - (-1)^pd_i u\vee e_iv
ここで $e_i, d_i$ は基底微分による微分作用素である。これらの公式から内微分の性質が導かれる。
12. 作用素 δδ = Δ
ラプラス・ベルトラミ作用素 $Δ$ が $δδ$ と一致することが示される。つまり、
(δδu)^{i_1 \cdots i_p} = \Delta u^{i_1 \cdots i_p} = g^{kl}D_kD_lu^{i_1 \cdots i_p} - R^m_lu^{mi_2 \cdots i_p}
となる。ここで $R$ は曲率テンソルである。 この作用素は調和微分形式の解析に現れ、重要な役割を果たす。
13. 定微分
微分形式 $u$ が $Du = 0$ を満たすとき、$u$ は定微分形式と呼ばれる。定微分形式は次の性質を持つ:
- 定数テンソル
$g$や$dx^i$との内部積、外部積は再び定微分形式になる - 作用素
$e$は定微分形式に作用して定微分形式を生成する - ユークリッド空間においては、定数と
$dx^i$の多項式が全ての定微分形式を生成する - 一般に、体積微分形式
$ω$は常に定微分形式となる
定微分形式は内部積環、外部積環の部分環を形成する。
14. 双対性
体積微分形式 $ω$ を用いて、任意の共変微分形式テンソル $u$ に対する双対テンソル $*u$ が
(*u)^{k_1 \cdots k_\rho}_{i_1 \cdots i_\mu} = u^{j_1 \cdots j_\nu}\epsilon_{j_1 \cdots j_\nu i_1 \cdots i_\mu}(\omega^{k_1 \cdots k_\rho})
と定義される。ここで $ε$ はレヴィ＝チヴィタテンソルである。この双対性は次の性質を持つ:
$***u = (-1)^{n(n-\mu+\nu)}u$($n$は次元)$*d* = (-1)^{n+1}d^n$($d^n$は$n$重外微分)$δ* = *d^*$($*$は内微分の双対作用素)
15. スカラー積
2 つの微分形式 $u,v$ に対して、スカラー積 $(u,v)$ が $(u\vee v)\wedge ω$ と定義される。その $p$ 階導関数も
(u,v)_p = (\eta^p u\vee v)\cdot\epsilon_\omega \qquad (\epsilon_\omega \text{は} ω \text{の内部積作用素})
と定義できる。スカラー積には次の公式が成り立つ:
$(u,v) = (-1)^{pq}(v,u)$($u$が次数$p$,$v$が次数$q$)$(u,v\wedge w) = (u\vee v,w)$$(u,δv) - (δu,v) = d(u,v)_1$- 正定値メトリックのとき
$(u,u)>0\ (u≠0)$
スカラー積とその導関数はグリーンの公式や調和形式の解析に重要な役割を果たす。
第Ⅲ部 ディラック方程式
第Ⅲ部では、ディラック方程式とその解の性質が詳しく論じられる。
まず、外微分計算と内微分計算におけるリー微分の定義と性質が述べられる。リー微分は微分形式に作用する作用素で、ベクトル場から定まる。特に、内微分計算におけるリー微分の振る舞いが詳しく調べられる。
次に、微分形式から行列を構成する方法が述べられる。この行列を用いることで、微分形式に関する計算が行列の計算に帰着される。
続いて、ディラック方程式が定式化される。ディラック方程式は内微分を用いて表される線形偏微分方程式で、量子力学における電子の運動を記述する方程式である。ディラック方程式の積分が定義され、その性質が調べられる。また、ディラック方程式の随伴方程式が定義され、随伴方程式の解がディラック方程式の解と一定の直交関係を満たすことが示される。
さらに、調和微分形式と厳密調和微分形式が定義される。これらはディラック方程式の特殊な解で、重要な役割を果たす。特に、ユークリッド空間における厳密調和微分形式の性質が詳しく調べられ、具体的な構成方法が与えられる。
続いて、球面調和関数から球面微分形式が構成される。球面微分形式を用いることで、ディラック方程式が変数分離できることが示される。これは、ディラック方程式の解法において重要な技法の一つである。
最後に、時空のディラック方程式が定式化され、電磁場中の電子を記述するディラック方程式が導入される。特に、クーロン場中の電子のディラック方程式が論じられ、球面微分形式を用いた変数分離が行われる。また、球対称計量における球対称ディラック方程式が考察され、球面微分形式による変数分離が一般的な設定で論じられる。
16. 外微分演算におけるリー作用素
ベクトル場 $X = a^i ∂/∂x^i$ が与えられたとき、微分形式 $u$ に対するリー導入作用素 $L_X$ が
(L_Xu)^{i_1 \cdots i_p} = X(u^{i_1 \cdots i_p}) - \sum_r u^{i_1 \cdots i_r-1ji_{r+1} \cdots i_p}\partial_ja^{i_r}
と定義される。この作用素は不変量であり、座標変換に関して
L_X(\alpha(u)) = \alpha(L_Xu)
が成り立つ（$\alpha$ は座標変換による環準同型）。
リー作用素 $X$ と $Y$ に対して、$[X,Y]$ がリー作用素になり、$L_{[X,Y]} = L_XL_Y - L_YL_X$ が成り立つ。
17. 内微分演算におけるリー作用素
キリング作用素 $X$（すなわち $L_Xg=0$ を満たすリー作用素）に対して、$X=a^idx^i$ と対応する微分形式 $a$ が導入される。すると $L_Xu$ の内部積表示が
L_Xu = δ(a\vee u) + a\vee δu
と与えられる。キリング条件のもとでは、L_Xは内微分δと可換になる:
L_Xδu = δL_Xu
さらに、キリングベクトル場 $X,Y,Z$ に対して $[X,Y]=Z$ ならば、対応する微分形式にも $a\wedge b = c$ が成り立つ。
18. 微分行列
微分形式テンソル $u$ に対応する行列 $(u)$ が定義される。これに対して、外部積 $(u\wedge v)$ は行列積 $(u)\wedge(v)$、外微分 $d(u)$ は行列 $d(u)$ などと表せる。
さらにカルタンの微分形式 $Ω$ から作られる行列 $ω$、曲率微分形式 $Ω$ から作られる行列 $Ω$ が導入される。これらを用いると、種々の公式が行列形式で表現できる。例えば、
(δu) = δ(u) + ω\vee(u) - (u)\vee\omega - 2e_i(u)\vee e^iω
(Δu) = Δ(u) + Ω\vee e(u) - Ω\vee(u) + Ω\vee(u) - (Ω\vee(u))^T
などが成り立つ。行列形式での表示は計算を簡潔にする。
19. ディラック方程式とその積分
(δu)^{i_1 \cdots i_\mu}_{j_1 \cdots j_\nu} = a^{i_1 \cdots i_\mu}_{j_1 \cdots j_\nu k_1 \cdots k_p} u^{k_1 \cdots k_p}
と定義される。これを行列形式で書くと
(δu) = (a)\vee(u)
となる。ディラック方程式の積分とは、この方程式の解からまた解を生成する作用素のことである。
20. 随伴ディラック方程式
ディラック方程式 $(δu) = (a)\vee(u)$ に対して随伴方程式が
(δv)^{j_1 \cdots j_\nu} = -a^{i_1 \cdots i_\mu j_1 \cdots j_\nu}_{k_1 \cdots k_p} v^{k_1 \cdots k_p i_1 \cdots i_\mu}
と定義される。ここで
a^{i_1 \cdots i_\mu j_1 \cdots j_\nu}_{k_1 \cdots k_p} = -a^{j_1 \cdots j_\nu i_1 \cdots i_\mu}_{k_1 \cdots k_p}
が成り立つ。このとき、グリーンの公式が成り立つ:
d(u,v)_1 = 0
21. 調和微分および厳密調和微分
微分形式テンソル $u$ が $Δu = 0$ を満たすとき、$u$ は調和形式と呼ばれる。さらに $δu = 0$ も満たせば、$u$ は厳密調和形式と呼ばれる。
- コンパクト位置的に平坦な多様体上では、任意の調和形式は厳密調和形式になる
- ユークリッド空間においては、調和多項式のみが厳密調和定微分形式を与える
- 厳密調和微分形式は
$η$作用素の$±1$固有空間に分解できる
厳密調和微分形式は、ディラック方程式 $δu=0$ の解に現れる重要な対象である。
22. 3次元ユークリッド空間における δu = 0 ディラック方程式の積分
この場合、作用素 $X_i\ (i=1,2,3)$ が
(X_i u)^{k_1 \cdots k_p} = \frac{\partial u^{k_1 \cdots k_p}}{\partial x_i} + \sum_r \omega_i^{k_rj}u^{k_1 \cdots k_{r-1}jk_{r+1} \cdots k_p}
によってディラック方程式の積分となる。ここで $\omega_i = dx^k\wedge dx^l$ は.
作用素 $K = \sum_i X_i\omega_i\vee$ も積分であり、$K-$固有微分形式が構成できる:
$K-$固有値$k+1$に対応する固有微分形式は$df\wedge\omega$($f$は次数$k+1$の調和多項式)$K-$固有値$-(k+1)$に対応する固有微分形式は$r^{k+2}dr\vee\omega\wedge df$($f$は次数$k-1$の調和関数)
これらの固有微分形式から、3 次元ユークリッド空間の任意の厳密調和微分形式が構成できる。
23. 点 (0, 0, 0) 以外のユークリッド空間全体での厳密調和微分
任意の2回連続微分可能な微分形式 $u$ は、原点を除いて級数 $\sum_{h=-\infty}^\infty u^{(h)}$ と展開できる。ここで各 $u^{(h)}$ は次数 $h$ の同次有理形式である。
この級数の各項 $u^{(h)}$ は厳密調和形式であり、作用素 $K$ は $Ku^{(h)} = (h+1)u^{(h)}$ を満たす。したがって、任意の原点を除く厳密調和微分形式は、球面調和関数と球対称微分形式の内部積で表せる。
24. 球面微分
球面調和関数 $Y_l^m(\theta,\phi)$ が定義され、球面微分形式 $R_l^m = r^ldY_l^m\wedge\omega$ が導入される。これらは作用素 $K$ の固有形式である:
KR_l^m = lR_l^m, \quad Kr^{-l-1}dY_l^m = -(l+1)r^{-l-1}dY_l^m\wedge\omega
これらを用いれば、3 次元ユークリッド空間の任意の原点を除く厳密調和微分形式は
u = \sum_{l,m} a_{lm}R_l^m \wedge dY_l^m + b_{lm}r^{-l-1}dY_l^m\wedge\omega
と表せる。球面調和解析と対応している。
25. 時空におけるディラック方程式
ミンコフスキー計量 $(dx^1)^2 + (dx^2)^2 + (dx^3)^2 - c^2(dt)^2$ を用いると、空間的な微分形式と時間的な微分形式 $dt$ を区別できる。空間的な微分形式に対しては 3 次元の場合と同様の計算規則が適用できる。一方、$dt$ に関しては
dx^i\vee dt = -dt\vee dx^i, \quad dt\vee dt = -c^2
などの規則が成り立つ。
この時空における微分形式の環の部分環として、純粋に空間的な微分形式からなる部分環が定義できる。この部分環に対して内微分 $\delta$ が作用する。
エネルギー作用素 $H$ が $dt$ による微分を表すディラック方程式の積分となり、$H-$固有微分形式が現れる。これらの研究には 3 次元空間の理論が応用できる。
26. 電子のディラック方程式
電磁場がベクトル位相 $A$ と スカラー位相 $\phi$ で記述されるとき、電子の状態は微分形式 $u$ で表される。$u$ は次のディラック方程式を満たす:
(\delta u)^{i_1 \cdots i_\mu}_{j_1 \cdots j_\nu} = \left(-\frac{ie}{\hbar c}A_{j_\nu} + \frac{E}{\hbar c^2}\delta^0_{j_\nu}\right)u^{i_1 \cdots i_\mu}_{j_1 \cdots j_{\nu-1}}
ここで $e$ は電子の電荷、$E$ は静止エネルギーである。
負の電子(電子)の状態は $u\vee e_- = u$、正の電子(陽電子)の状態は $u\vee e_+ = u$ で特徴付けられる。物理的に重要なのは電流・電荷密度を記述する微分形式 $(u,\gamma u)_0$ である。
この理論では、電子のスピンが微分形式による記述に取り入れられている点が特徴的である。クーロン場における具体的な解の構成法も与えられている。
27. クーロン場における電子
原子核の電荷を $Ze$ とすると、クーロン場のベクトル位相は $A_0 = Ze/r$ で与えられる。この場合、電子のディラック方程式は
\delta u = -\left(\frac{Ze}{r\hbar c} + \frac{E}{\hbar c^2}\right)dt\vee u
となる。負電子(電子)の場合は $u\vee e_- = u$ の条件がつく。
この方程式の解 $u$ は、球面調和関数 $Y_l^m$ と半径方向の関数 $f(r), g(r)$ を用いて
u = (f(r)dr - g(r))\wedge \omega \wedge Y_l^m
と表される。ここで $f, g$ は連立常微分方程式
\frac{d}{dr}f = \left(\frac{E}{\hbar c} - \frac{Ze^2}{\hbar cr}\right)g - \frac{\kappa}{r}g
\frac{d}{dr}g = \left(\frac{E}{\hbar c} + \frac{Ze^2}{\hbar cr}\right)f + \frac{\kappa}{r}f
を満たす。$\kappa = \pm(l+1)$ は固有値に対応する。
この解の具体的構成法と、全角運動量の定義について説明される。
28. 球対称計量における球対称ディラック方程式
一般の球対称計量の下で、次の分離変数によるディラック方程式の解が構成できる:
u = (A(r,t)\vee\omega + B(r,t))\wedge Y_l^m
ここで $Y_l^m$ は球面調和関数である。$A, B$ は放射及び時間変数 $r, t$ についての常微分方程式を満たす。
エネルギー作用素 $H$ が積分であれば、$H-$固有解 $u = e^{-iEt/\hbar}R(r)\wedge Y_l^m$ が構成できる。この場合、$R(r)$ は通常の常微分方程式を満たす。
この一般論と、具体例としてのクーロン場の解の関係が述べられている。球面調和解析の手法が、一般の球対称時空でのディラック方程式解析に有効であることが示唆されている。
