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余微分とディラック作用素の内積部分

微分ディラック作用素内積部分は符号が異なります。余微分の計算に含まれる幾何内積により確認します。

微分はホッジスターの計算が煩雑ですが、ディラック作用素で代用すれば簡略化できます。余微分を外微分と同じくらい気軽に使えるようにすることが目的です。

以下の記事を前提としています。

ディラック作用素については以下の記事を参照してください。

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外積代数と幾何積の内積部分

クリフォード代数の幾何積は内積外積の計算を含みます。幾何積の内積部分(幾何内積)と外積代数との対応を示します。

ある種の微分形式の計算を省力化することを目的としています。

以下の記事を前提としています。

幾何内積を用いればディラック作用素と余微分が対応付けられます。詳細は次回取り上げる予定です。

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2~4次元で余微分とディラック作用素を比較

微分の計算を単純化する準備として、2~4次元で余微分ディラック作用素を計算して比較します。

ディラック作用素のグレードが下がる部分は余微分の符号反転に相当します。今回は計算例の確認だけですが、詳細は以下の記事を参照してください。

微分については以下の記事を参照してください。

ディラック作用素については以下の記事を参照してください。

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2~4次元で余微分を計算

2~4次元で余微分を計算します。余微分の具体的な計算例を示すことを目的とします。

ユークリッド空間とミンコフスキー空間のどちらにも適用できるように、計量は数値化せずに残します。

微分については前回の記事を参照してください。

微分を定義通りに計算するのは面倒です。簡略化のためディラック作用素の利用を検討中です。

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余微分の定義を追う

微分は外微分の随伴として定義されます。ライプニッツ則の延長線上で考えると分かりやすいです。

微分形式の式展開は添え字が複雑になりがちですが、読み方のコツを書きました。分かりにくい点は、繰り返しをいとわず何度も書きました。

前2回の記事を前提としています。

続編で計算例を示します。

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マルチベクトルの内積

前回、マルチベクトル(k-ベクトル)の内積の計算方法を取り上げました。

今回は直観的なイメージを書きます。

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ホッジ双対とクリフォード代数

外積代数の内積とホッジ双対をクリフォード代数で計算します。特にミンコフスキー空間のホッジ双対を求めるのに便利です。

この記事は以下をベースに、解釈やクリフォード代数などを補いました。

計算の直観的なイメージは続編を参照してください。

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