余微分とディラック作用素の内積部分

余微分とディラック作用素の内積部分は符号が異なります。余微分の計算に含まれる左内積により確認します。

余微分はホッジスターの計算が煩雑ですが、ディラック作用素で代用すれば簡略化できます。余微分を外微分と同じくらい気軽に使えるようにすることが目的です。

外積代数と左内積

クリフォード代数の幾何積は内積と外積の計算を含みます。内積のうち左内積と外積代数との対応を示します。ある種の微分形式の計算を省力化することを目的としています。

2～4次元で余微分とディラック作用素を比較

余微分の計算を単純化する準備として、2～4次元で余微分とディラック作用素を計算して比較します。ディラック作用素のグレードが下がる部分は余微分の符号反転に相当します。

2～4次元で余微分を計算

2～4次元で余微分を計算します。余微分の具体的な計算例を示すことを目的とします。

ユークリッド空間とミンコフスキー空間のどちらにも適用できるように、計量は数値化せずに残します。

余微分の定義を追う

余微分は外微分の随伴として定義されます。ライプニッツ則の延長線上で考えると分かりやすいです。

微分形式の式展開は添え字が複雑になりがちですが、読み方のコツを書きました。分かりにくい点は、繰り返しをいとわず何度も書きました。

マルチベクトルの内積

マルチベクトル（k-ベクトル）の内積の直観的なイメージを書きます。

ホッジ双対とクリフォード代数

外積代数の内積とホッジ双対をクリフォード代数で計算します。特にミンコフスキー空間のホッジ双対を求めるのに便利です。

この記事は以下をベースに、解釈やクリフォード代数などを補いました。

• wikipedia:ホッジ双対