余微分の計算を単純化する準備として、2～4次元で余微分とディラック作用素を計算して比較します。ディラック作用素のグレードが下がる部分は余微分の符号反転に相当します。
シリーズの記事です。
- ホッジ双対とクリフォード代数
- マルチベクトルの内積
- 余微分の定義を追う
- 2～4次元で余微分を計算
- 2～4次元で余微分とディラック作用素を比較 ← この記事
- 外積代数と左内積
- 余微分とディラック作用素の内積部分
- 左内積とウェッジ積の交換
- 余微分のライプニッツ則
目次
余微分
この記事ではホッジスターの逆写像による定義を使用します。
δ=(-1)^k\star^{-1}d\star
また、偏微分を添え字で略記します。
f_x:=\frac{∂f}{∂x}
ディラック作用素
外微分はスカラー値関数 $f$ の全微分 $df$ と基底との外積（ウェッジ積）を計算します。基底を $ξ$ とすれば：
d(fξ)=df∧ξ
ディラック作用素も全微分までは同じですが、基底との積はクリフォード代数の幾何積で計算します。
D(fξ)=(Df)ξ
ディラック作用素の計算結果にはグレードが上がる部分と下がる部分があります。グレードが上がる部分は外微分 $d$、グレードが下がる部分は余微分 $δ$ の符号反転と一致します。
D=d-δ
この記事では幾何積のグレードが下がる部分を内積と見なして $⋅$ で表記します。ディラック作用素とのセットも使用します。
D⋅=-δ
実際に符号反転するかどうかを具体例で確認します。
2次元
1-形式
\begin{aligned}
&δ(X\,dx+Y\,dy) \\
&=(-1)^1\star^{-1}\{(X_x\,dx+\cancel{X_y\,dy})∧\star dx \\
&\hspace{5em}+(\cancel{Y_x\,dx}+Y_y\,dy)∧\star dy\} \\
&=-(X_x|dx|^2+Y_y|dy|^2) \\
\\
&D⋅(X\,dx+Y\,dy) \\
&=(X_x\,dx+\cancel{X_y\,dy})⋅dx \\
&\ +(\cancel{Y_x\,dx}+Y_y\,dy)⋅dy \\
&=X_x\,dx^2+Y_y\,dy^2
\end{aligned}
2-形式
\begin{aligned}
&δ(F\,dx∧dy) \\
&=(-1)^2\star^{-1}\{(F_x\,dx+F_y\,dy)∧\star(dx∧dy)\} \\
&=-(F_x|dx|^2 dy-F_y|dy|^2 dx) \\
\\
&D⋅(F\,dx\,dy) \\
&=(F_x\,dx+F_y\,dy)⋅dx\,dy \\
&=F_x\,dx^2 dy-F_y\,dy^2 dx
\end{aligned}
3次元
1-形式
\begin{aligned}
&δ(X\,dx+Y\,dy+Z\,dz) \\
&=(-1)^1\star^{-1}\{(X_x\,dx+\cancel{X_y\,dy}+\cancel{X_z\,dz})∧\star dx \\
&\hspace{5em}+(\cancel{Y_x\,dx}+Y_y\,dy+\cancel{Y_z\,dz})∧\star dy \\
&\hspace{5em}+(\cancel{Z_x\,dx}+\cancel{Z_y\,dy}+Z_z\,dz)∧\star dz\} \\
&=-(X_x|dx|^2+Y_y|dy|^2+Z_z|dz|^2) \\
\\
&D⋅(X\,dx+Y\,dy+Z\,dz) \\
&=(X_x\,dx+\cancel{X_y\,dy}+\cancel{X_z\,dz})⋅dx \\
&\ +(\cancel{Y_x\,dx}+Y_y\,dy+\cancel{Y_z\,dz})⋅dy \\
&\ +(\cancel{Z_x\,dx}+\cancel{Z_y\,dy}+Z_z\,dz)⋅dz \\
&=X_x\,dx^2+Y_y\,dy^2+Z_z\,dz^2
\end{aligned}
2-形式
\begin{aligned}
&δ(X\,dy∧dz+Y\,dz∧dx+Z\,dx∧dy) \\
&=(-1)^2\star^{-1}\{(\cancel{X_x\,dx}+X_y\,dy+X_z\,dz)∧\star(dy∧dz) \\
&\hspace{5em}+(Y_x\,dx+\cancel{Y_y\,dy}+Y_z\,dz)∧\star(dz∧dx) \\
&\hspace{5em}+(Z_x\,dx+Z_y\,dy+\cancel{Z_z\,dz})∧\star(dx∧dy)\} \\
&=(Z_y|dy|^2-Y_z|dz|^2)dx \\
&\ +(X_z|dz|^2-Z_x|dx|^2)dy \\
&\ +(Y_x|dx|^2-X_y|dy|^2)dz \\
\\
&D⋅(X\,dy\,dz+Y\,dz\,dx+Z\,dx\,dy) \\
&=(\cancel{X_x\,dx}+X_y\,dy+X_z\,dz)⋅dy\,dz \\
&\ +(Y_x\,dx+\cancel{Y_y\,dy}+Y_z\,dz)⋅dz\,dx \\
&\ +(Z_x\,dx+Z_y\,dy+\cancel{Z_z\,dz})⋅dx\,dy \\
&=(Y_z\,dz^2-Z_y\,dy^2)dx \\
&\ +(Z_x\,dx^2-X_z\,dz^2)dy \\
&\ +(X_y\,dy^2-Y_x\,dx^2)dz
\end{aligned}
3-形式
\begin{aligned}
&δ(F\,dx∧dy∧dz) \\
&=(-1)^3\star^{-1}\{(F_x\,dx+F_y\,dy+F_z\,dz)∧\star(dx∧dy∧dz)\} \\
&=-(F_x|dx|^2 dy∧dz+F_y|dy|^2 dz∧dx+F_z|dz|^2 dx∧dy) \\
\\
&D⋅(F\,dx\,dy\,dz) \\
&=(F_x\,dx+F_y\,dy+F_z\,dz)⋅dx\,dy\,dz \\
&=F_x\,dx^2 dy\,dz+F_y\,dy^2 dz\,dx+F_z\,dz^2 dx\,dy
\end{aligned}
4次元
1-形式
\begin{aligned}
&δ(W\,dw+X\,dx+Y\,dy+Z\,dz) \\
&=(-1)^1\star^{-1}\{(W_w\,dw+\cancel{W_x\,dx}+\cancel{W_y\,dy}+\cancel{W_z\,dz})∧\star dw \\
&\hspace{5em}+(\cancel{X_w\,dw}+X_x\,dx+\cancel{X_y\,dy}+\cancel{X_z\,dz})∧\star dx \\
&\hspace{5em}+(\cancel{Y_w\,dw}+\cancel{Y_x\,dx}+Y_y\,dy+\cancel{Y_z\,dz})∧\star dy \\
&\hspace{5em}+(\cancel{Z_w\,dw}+\cancel{Z_x\,dx}+\cancel{Z_y\,dy}+Z_z\,dz)∧\star dz\} \\
&=-(W_w|dw|^2+X_x|dx|^2+Y_y|dy|^2+Z_z|dz|^2) \\
\\
&D⋅(W\,dw+X\,dx+Y\,dy+Z\,dz) \\
&= (W_w\,dw+\cancel{W_x\,dx}+\cancel{W_y\,dy}+\cancel{W_z\,dz})⋅dw \\
&\ +(\cancel{X_w\,dw}+X_x\,dx+\cancel{X_y\,dy}+\cancel{X_z\,dz})⋅dx \\
&\ +(\cancel{Y_w\,dw}+\cancel{Y_x\,dx}+Y_y\,dy+\cancel{Y_z\,dz})⋅dy \\
&\ +(\cancel{Z_w\,dw}+\cancel{Z_x\,dx}+\cancel{Z_y\,dy}+Z_z\,dz)⋅dz \\
&=W_w\,dw^2+X_x\,dx^2+Y_y\,dy^2+Z_z\,dz^2
\end{aligned}
2-形式
\begin{aligned}
&δ(\mathbb{X}\,dw∧dx+\mathbb{Y}\,dw∧dy+\mathbb{Z}\,dw∧dz+X\,dy∧dz+Y\,dz∧dx+Z\,dx∧dy) \\
&=(-1)^2\star^{-1}\{(\mathbb{X}_w\,dw+\mathbb{X}_x\,dx+\cancel{\mathbb{X}_y\,dy}+\cancel{\mathbb{X}_z\,dz})∧\star(dw∧dx) \\
&\hspace{5em}+(\mathbb{Y}_w\,dw+\cancel{\mathbb{Y}_x\,dx}+\mathbb{Y}_y\,dy+\cancel{\mathbb{Y}_z\,dz})∧\star(dw∧dy) \\
&\hspace{5em}+(\mathbb{Z}_w\,dw+\cancel{\mathbb{Z}_x\,dx}+\cancel{\mathbb{Z}_y\,dy}+\mathbb{Z}_z\,dz)∧\star(dw∧dz) \\
&\hspace{5em}+(\cancel{X_w\,dw}+\cancel{X_x\,dx}+X_y\,dy+X_z\,dz)∧\star(dy∧dz) \\
&\hspace{5em}+(\cancel{Y_w\,dw}+Y_x\,dx+\cancel{Y_y\,dy}+Y_z\,dz)∧\star(dz∧dx) \\
&\hspace{5em}+(\cancel{Z_w\,dw}+Z_x\,dx+Z_y\,dy+\cancel{Z_z\,dz})∧\star(dx∧dy)\} \\
&=(\mathbb{X}_x|dx|^2+\mathbb{Y}_y|dy|^2+\mathbb{Z}_z|dz|^2)dw \\
&\ -(\mathbb{X}_w|dw|^2+Y_z|dz|^2-Z_y|dy|^2)dx \\
&\ -(\mathbb{Y}_w|dw|^2+Z_x|dx|^2-X_z|dz|^2)dy \\
&\ -(\mathbb{Z}_w|dw|^2+X_y|dy|^2-Y_x|dx|^2)dz \\
\\
&D⋅(\mathbb{X}\,dw\,dx+\mathbb{Y}\,dw\,dy+\mathbb{Z}\,dw\,dz+X\,dy\,dz+Y\,dz\,dx+Z\,dx\,dy) \\
&=(\mathbb{X}_w\,dw+\mathbb{X}_x\,dx+\cancel{\mathbb{X}_y\,dy}+\cancel{\mathbb{X}_z\,dz})⋅dw\,dx \\
&\ +(\mathbb{Y}_w\,dw+\cancel{\mathbb{Y}_x\,dx}+\mathbb{Y}_y\,dy+\cancel{\mathbb{Y}_z\,dz})⋅dw\,dy \\
&\ +(\mathbb{Z}_w\,dw+\cancel{\mathbb{Z}_x\,dx}+\cancel{\mathbb{Z}_y\,dy}+\mathbb{Z}_z\,dz)⋅dw\,dz \\
&\ +(\cancel{X_w\,dw}+\cancel{X_x\,dx}+X_y\,dy+X_z\,dz)⋅dy\,dz \\
&\ +(\cancel{Y_w\,dw}+Y_x\,dx+\cancel{Y_y\,dy}+Y_z\,dz)⋅dz\,dx \\
&\ +(\cancel{Z_w\,dw}+Z_x\,dx+Z_y\,dy+\cancel{Z_z\,dz})⋅dx\,dy \\
&=-(\mathbb{X}_x\,dx^2+\mathbb{Y}_y\,dy^2+\mathbb{Z}_z\,dz^2)dw \\
&\quad+(\mathbb{X}_w\,dw^2+Y_z\,dz^2-Z_y\,dy^2)dx \\
&\quad+(\mathbb{Y}_w\,dw^2+Z_x\,dx^2-X_z\,dz^2)dy \\
&\quad+(\mathbb{Z}_w\,dw^2+X_y\,dy^2-Y_x\,dx^2)dz
\end{aligned}
3-形式
\begin{aligned}
&δ(W\,dx∧dy∧dz+X\,dw∧dy∧dz+Y\,dw∧dz∧dx+Z\,dw∧dx∧dy) \\
&=(-1)^3\star^{-1}\{(\cancel{W_w\,dw}+W_x\,dx+W_y\,dy+W_z\,dz)∧\star(dx∧dy∧dz) \\
&\hspace{5em}+(X_w\,dw+\cancel{X_x\,dx}+X_y\,dy+X_z\,dz)∧\star(dw∧dy∧dz) \\
&\hspace{5em}+(Y_w\,dw+Y_x\,dx+\cancel{Y_y\,dy}+Y_z\,dz)∧\star(dw∧dz∧dx) \\
&\hspace{5em}+(Z_w\,dw+Z_x\,dx+Z_y\,dy+\cancel{Z_z\,dz})∧\star(dw∧dx∧dy)\} \\
&=-\{(Z_y|dy|^2-Y_z|dz|^2)dw∧dx \\
&\quad\ +(X_z|dz|^2-Z_x|dx|^2)dw∧dy \\
&\quad\ +(Y_x|dx|^2-X_y|dy|^2)dw∧dz \\
&\quad\ +(W_x|dx|^2+X_w|dw|^2)dy∧dz \\
&\quad\ +(W_y|dy|^2+Y_w|dw|^2)dz∧dx \\
&\quad\ +(W_z|dz|^2+Z_w|dw|^2)dx∧dy\} \\
\\
&D⋅(W\,dx\,dy\,dz+X\,dw\,dy\,dz+Y\,dw\,dz\,dx+Z\,dw\,dx\,dy) \\
&= (\cancel{W_w\,dw}+W_x\,dx+W_y\,dy+W_z\,dz)⋅dx\,dy\,dz \\
&\ +(X_w\,dw+\cancel{X_x\,dx}+X_y\,dy+X_z\,dz)⋅dw\,dy\,dz \\
&\ +(Y_w\,dw+Y_x\,dx+\cancel{Y_y\,dy}+Y_z\,dz)⋅dw\,dz\,dx \\
&\ +(Z_w\,dw+Z_x\,dx+Z_y\,dy+\cancel{Z_z\,dz})⋅dw\,dx\,dy \\
&= (Z_y\,dy^2-Y_z\,dz^2)dw\,dx \\
&\ +(X_z\,dz^2-Z_x\,dx^2)dw\,dy \\
&\ +(Y_x\,dx^2-X_y\,dy^2)dw\,dz \\
&\ +(W_x\,dx^2+X_w\,dw^2)dy\,dz \\
&\ +(W_y\,dy^2+Y_w\,dw^2)dz\,dx \\
&\ +(W_z\,dz^2+Z_w\,dw^2)dx\,dy \\
\end{aligned}
4-形式
\begin{aligned}
&δ(F\,dw∧dx∧dy∧dz) \\
&=(-1)^4\star^{-1}\{(F_w\,dw+F_x\,dx+F_y\,dy+F_z\,dz)∧\star(dw∧dx∧dy∧dz)\} \\
&=-( F_w|dw|^2 dx∧dy∧dz \\
&\quad\ -F_x|dx|^2 dw∧dy∧dz \\
&\quad\ -F_y|dy|^2 dw∧dz∧dx \\
&\quad\ -F_z|dz|^2 dw∧dx∧dy) \\
\\
&D⋅(F\,dw\,dx\,dy\,dz) \\
&=(F_w\,dw+F_x\,dx+F_y\,dy+F_z\,dz)⋅dw\,dx\,dy\,dz \\
&=F_w\,dw^2\,dx\,dy\,dz-F_x\,dx^2 dw\,dy\,dz-F_y\,dy^2 dw\,dz\,dx-F_z\,dz^2 dw\,dx\,dy
\end{aligned}
