調和微分形式とスカラーポテンシャル

複素正則関数の舞台裏を視覚化するため、調和微分形式を生成するスカラーポテンシャルを簡単な具体例とグラフで確認します。

シリーズの記事です。

1. 調和微分形式とディラック作用素
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目次

概要

複素正則関数 $f$ は2つの実調和関数 $u,v$ によって構成されます。

f(x,y)=u(x,y)+v(x,y)i

$f$ に対応する調和微分形式 $ω$ を定義します。

ω=u\,dx-v\,dy

調和微分形式は閉形式かつ余閉形式です。

dω=δω=0\ ⇔\ Dω=0

調和微分形式は実調和関数 $ϕ$ で表されるスカラーポテンシャルの外微分によって生成されます。

\begin{aligned} dϕ&=ω \\ \frac{∂ϕ}{∂x}dx+\frac{∂ϕ}{∂y}dy&=u\,dx-v\,dy \\ ∴\ \frac{∂ϕ}{∂x}=u\ ,&\quad\frac{∂ϕ}{∂y}=-v \end{aligned}

簡単な正則関数がどのようなスカラーポテンシャルから生成されるのかを確認します。

1次式

$z$ を複素数として、複素関数 $f _ 1$ を定義します。

f_1(z)=z

$z=x+yi$ として実部と虚部に分解します。

f_1(x,y)=x+yi

$f_1$ に対応する調和微分形式 $ω _ 1$ を定義します。

ω_1=x\,dx-y\,dy

$Dω _ 1=0$ より調和微分形式であることを確認します。

\begin{aligned} Dω_1 &=\left(dx\frac∂{∂x}+dy\frac∂{∂y}\right)(x\,dx-y\,dy) \\ &=\left(dx\frac∂{∂x}+dy\frac∂{∂y}\right)x\,dx-\left(dx\frac∂{∂x}+dy\frac∂{∂y}\right)y\,dy \\ &=(1+0)-(0+1) \\ &=0 \end{aligned}

外微分により $ω _ 1$ を生成するスカラーポテンシャル $ϕ _ 1$ を求めます。

\begin{aligned} \frac{∂ϕ_1}{∂x}=x\ &,\quad\frac{∂ϕ_1}{∂y}=-y \\ ϕ_1=\frac{x^2}2+C\ &,\quadϕ_1=-\frac{y^2}{2}+C' \end{aligned}

単純に結合して外微分してみます。（定数項の任意性は無視します）

\begin{aligned} ϕ_1&=\frac{x^2-y^2}2 \\ dϕ_1&=x\,dx-y\,dy \end{aligned}

うまく行きました。これらをプロットします。

複素共役

良く似た形ですが正則関数ではない例を確認します。

\begin{aligned} f(z)&=\bar z \\ f(x,y)&=x-yi \\ ω&=x\,dx+y\,dy \\ Dω&=(1+0)+(0+1)=2 \end{aligned}

$Dω≠0$ より $ω$ は調和微分形式ではなく、$f$ は正則関数ではありません。

$dω=0$ ではあるので、$dϕ=ω$ となる $ϕ$ は存在します。

\begin{aligned} ϕ&=\frac{x^2+y^2}2 \\ dϕ&=x\,dx+y\,dy \end{aligned}

※ $dω$ は回転（rot）、$dϕ$ は勾配（grad）に相当します。スカラーポテンシャルが存在することは、回転がないことを意味します。

回転（rot）がないことから、$Δϕ=2$ は発散（div）の値です。グラフを見ると、明らかに原点から湧き出しがあります。

2次式

f_2(z)=z^2

実部と虚部に分けると、少し入り組んだ形になります。

f_2(x,y)=(x+yi)^2=(x^2-y^2)+2xyi

調和微分形式であることを確認します。

\begin{aligned} ω_2&=(x^2-y^2)dx-2xy\,dy \\ Dω_2&=(2x-2y\,dy\,dx)-(2y\,dx\,dy+2x)=0 \end{aligned}

スカラーポテンシャルを確認します。

\begin{aligned} ϕ_2&=\frac{x^3}3-xy^2 \\ dϕ_2&=(x^2-y^2)dx-2xy\,dy \end{aligned}

複素共役

複素共役を2乗してみます。

\begin{aligned} f(z)&=\bar z^2 \\ f(x,y)&=(x-yi)^2=(x^2-y^2)-2xyi \\ ω&=(x^2-y^2)dx+2xy\,dy \\ Dω&=(2x-2y\,dy\,dx)+(2y\,dx\,dy+2x)=\underbrace{4x}_{\mathrm{div}}+\underbrace{4y\,dx\,dy}_{\mathrm{rot}} \end{aligned}

$Dω≠0$ より $ω$ は調和微分形式ではなく、$f$ は正則関数ではありません。

回転（rot）があることから、スカラーポテンシャルは存在しません。グラフを見ると、ループが形成されています。

3次式

f_3(z)=z^3

実部と虚部に分けると、$x$ と $y$ が対称な形で現れます。

f_3(x,y)=(x+yi)^3=(x^3-3xy^2)-(y^3-3x^2y)i

調和微分形式であることを確認します。

\begin{aligned} ω_3&=(x^3-3xy^2)dx+(y^3-3x^2y)dy \\ Dω_3&=(3x^2-3y^2-6xy\,dy\,dx)+(-6xy\,dx\,dy+3y^2-3x^2)=0 \end{aligned}

スカラーポテンシャルを確認します。

\begin{aligned} ϕ_3&=\frac{x^4-6x^2y^2+y^4}4 \\ dϕ_3&=(x^3-3xy^2)dx+(y^3-3x^2y)dy \end{aligned}

多項式

今までの結果を組み合わせて多項式を確認します。

\begin{aligned} f(z)&=z^3+5z^2+10z \\ &=f_3(z)+5f_2(z)+10f_1(z) \\ ω&=ω_3+5ω_2+10ω_1 \\ ϕ&=ϕ_3+5ϕ_2+10ϕ_1 \end{aligned}

指数関数

\begin{aligned} f(z)&=e^z \\ f(x,y)&=e^{x+yi}=e^x e^{yi}=e^x\left(\cos y+i\sin y\right) \end{aligned}

調和微分形式であることを確認します。

\begin{aligned} ω&=e^x\cos y\,dx-e^x\sin y\,dy \\ Dω&=e^x\{(\cos y-\sin y\,dy\,dx)-(\sin y\,dx\,dy+\cos y)\}=0 \end{aligned}

スカラーポテンシャルを確認します。

\begin{aligned} ϕ&=e^x\cos y \\ dϕ&=e^x\cos y\,dx-e^x\sin y\,dy \end{aligned}

複素三角関数

$x$ 軸方向には三角関数、$y$ 軸方向には双曲線関数の性質が現れます。

sin

\begin{aligned} f(z)&=\sin z \\ f(x,y)&=\sin(x+yi)=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y \end{aligned}

調和微分形式であることを確認します。

\begin{aligned} ω&=\sin x\cosh y\,dx-\cos x\sinh y\,dy \\ Dω&=(\cos x\cosh y+\sin x\sinh y\,dy\,dx)-(-\sin x\sinh y\,dx\,dy+\cos x\cosh y)=0 \end{aligned}

スカラーポテンシャルを確認します。

\begin{aligned} ϕ&=-\cos x\cosh y \\ dϕ&=\sin x\cosh y\,dx-\cos x\sinh y\,dy \end{aligned}

cos

\begin{aligned} f(z)&=\cos z \\ f(x,y)&=\cos(x+yi)=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y \end{aligned}

調和微分形式であることを確認します。

\begin{aligned} ω&=\cos x\cosh y\,dx+\sin x\sinh y\,dy \\ Dω&=(-\sin x\cosh y+\cos x\sinh y\,dy\,dx)+(\cos x\sinh y\,dx\,dy+\sin x\cosh y)=0 \end{aligned}

スカラーポテンシャルを確認します。

\begin{aligned} ϕ&=\sin x\cosh y \\ dϕ&=\cos x\cosh y\,dx+\sin x\sinh y\,dy \end{aligned}

まとめ

複素正則関数 $f=u+vi$ は実調和関数 $ϕ$ から生成され、中に2つの実調和関数 $u,v$ を持ちます。調和関数が調和関数を生み出すのが、不思議な連鎖構造だと感じました。

正則関数	調和微分形式	スカラーポテンシャル
z	x\,dx-y\,dy	\frac{x^2-y^2}2
z^2	(x^2-y^2)dx-2xy\,dy	\frac{x^3}3-xy^2
z^3	(x^3-3xy^2)dx+(y^3-3x^2y)dy	\frac{x^4-6x^2y^2+y^4}4
e^z	e^x\cos y\,dx-e^x\sin y\,dy	e^x\cos y
\sin z	\sin x\cosh y\,dx-\cos x\sinh y\,dy	-\cos x\cosh y
\cos z	\cos x\cosh y\,dx+\sin x\sinh y\,dy	\sin x\cosh y

Jupyter Notebook

グラフは Jupyter Notebook で作成しました。

• http://nbviewer.jupyter.org/gist/7shi/53176d99f49f4c7fb1d0f9e40cfb489d