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ホッジ双対とクリフォード代数

外積代数の内積とホッジ双対をクリフォード代数で計算します。特にミンコフスキー空間のホッジ双対を求めるのに便利です。

この記事は以下をベースに、解釈やクリフォード代数などを補いました。

計算の直観的なイメージは続編を参照してください。

目次

定義

k-ベクトルのホッジスターの定義より:


α=α_1∧⋯∧α_k,\ β=β_1∧⋯∧β_k

\begin{aligned}
⟨α,β⟩
&=\det \left( ⟨α_i,β_j⟩ \right) \\
&=\det \left( \begin{matrix}
  ⟨α_1,β_1⟩&⋯&⟨α_1,β_k⟩ \\
  ⋮&⋱&⋮ \\
  ⟨α_k,β_1⟩&⋯&⟨α_k,β_k⟩
  \end{matrix} \right)
\end{aligned}

α∧(\star β)=⟨α,β⟩ω

⟨α,β⟩ は k-ベクトルの内積で、1-ベクトルの内積を成分とした行列(内積テンソル)の行列式として定義している。

α∧(\star β)外積(ウェッジ積)によって内積を求める方法を定義している。内積は擬スカラーとして得られ、ω は単位擬スカラーと呼ばれる n 次元 n-ベクトルの基底である。

Wikipedia では ω の符号の任意性に言及している。

n-ベクトル の空間は 1 次元で、したがって単位 n-ベクトル ω は二つとりかたがある。このどちらかを選ぶことにより V 上の向き付けが決まる。

この記事では、単位擬スカラーは基底を昇順で並べて正に取る。しばしばクリフォード代数では虚数単位 i と同一視される。


ω=e_1∧⋯∧e_n

この記事の主な目的は、クリフォード代数による以下の計算方法を導入して、なるべく簡単にホッジ双対を求めることである。


⟨α,α⟩=|α|^2=\tilde αα

\star α=\tilde αi

内積


⟨α,β⟩=\det \left( ⟨α_i,β_j⟩ \right)

以下、計量 1ユークリッド空間での正規直交基底のみの組み合わせを確認する。


⟨e_i,e_j⟩
=δ_{ij}
=\left\{\begin{array}{lc}
    1&(i=j) \\
    0&(i≠j)
    \end{array}\right.

2-ベクトルの例


\begin{aligned}
⟨e_1∧e_2,e_1∧e_2⟩
&=\det \left( \begin{matrix}
    ⟨e_1,e_1⟩&⟨e_1,e_2⟩\\
    ⟨e_2,e_1⟩&⟨e_2,e_2⟩
    \end{matrix} \right) \\
&=\det \left( \begin{matrix}
    1&0\\
    0&1
    \end{matrix} \right) \\
&=1
\end{aligned}

\begin{aligned}
⟨e_1∧e_2,e_2∧e_3⟩
&=\det \left( \begin{matrix}
    ⟨e_1,e_2⟩&⟨e_1,e_3⟩\\
    ⟨e_2,e_2⟩&⟨e_2,e_3⟩
    \end{matrix} \right) \\
&=\det \left( \begin{matrix}
    0&0\\
    1&0
    \end{matrix} \right) \\
&=0
\end{aligned}

ノルムの2乗

自分自身との内積をノルムの2乗とする。


|α|^2:=⟨α,α⟩=\det \left( ⟨α_i,α_j⟩ \right)

直交基底では対角成分の積、つまり個々の計量を掛け合わせた値となる。


e_{i_1}∧⋯∧e_{i_k}≠0

\begin{aligned}
|e_{i_1}∧⋯∧e_{i_k}|^2
&=\det \left( \begin{matrix}
    ⟨e_{i_1},e_{i_1}⟩&⋯&⟨e_{i_1},e_{i_k}⟩ \\
    ⋮&⋱&⋮ \\
    ⟨e_{i_k},e_{i_1}⟩&⋯&⟨e_{i_k},e_{i_k}⟩
    \end{matrix} \right) \\
&=⟨e_{i_1},e_{i_1}⟩⋯⟨e_{i_k},e_{i_k}⟩ \\
&=|e_{i_1}|^2⋯|e_{i_k}|^2
\end{aligned}

ユークリッド空間のように計量がすべて正であれば、ノルムがマイナスになることはない(正定値性)。

ミンコフスキー空間のように負の計量が含まれる空間では、ノルムの2乗はマイナスになることがある。ノルムの正定値性を満たさないため厳密にはノルムではないが、ここでは便宜的にノルムと呼んでおく。

クリフォード代数による計算

クリフォード代数での積は幾何積と呼ばれる。演算子は表記しない。同じ基底の幾何積は内積として計量になり、異なれば反交換となる。i≠j として:


e_ie_i=1,\ e_ie_j=-e_je_i

ウェッジ積は内積0 に退化した幾何積だと解釈できる。


e_i∧e_i=0,\ e_i∧e_j=-e_j∧e_i

内積以外の演算はウェッジ積と同一視できる。(外積


e_ie_j=e_i∧e_j

外積代数での2-ベクトルの内積と、幾何積とを比較する。符号が合わない。


\begin{aligned}
|e_i∧e_j|^2&=|e_i|^2|e_j|^2=1 \\
(e_ie_j)^2&=e_ie_je_ie_j=-e_ie_ie_je_j=-e_i^2e_j^2=-1
\end{aligned}

※ 幾何積では、反交換により同じ基底を隣接させてから、内積として計量に変換する。

基底を逆順にして幾何積を計算すれば、外積代数と同じ値が得られる。逆順をチルダで表すと:


(\widetilde{e_ie_j})(e_ie_j)=e_je_ie_ie_j=e_i^2e_j^2=1

連鎖的に計量に変換されていく。これは任意のグレードで成立する。


⟨α,α⟩=|α|^2=\tilde αα

同じやり方で異なる基底の内積を計算するとスカラーとはならない。i,j,k がすべて異なるとして:


(\widetilde{e_ie_j})(e_je_k)=e_je_ie_je_k=-e_ie_k

この場合でもスカラー成分 0 により内積 0 が得られる。

ホッジ双対

ホッジ双対は外積(ウェッジ積)によって内積を求めるために必要となる変換で、ホッジスター \star によって表される。内積を求めるための双対という観点では、テンソルの双対(共変と反変)に似ている。


α∧(\star β)=⟨α,β⟩ω

既にノルムの2乗が分かっているので、それを利用してホッジ双対を求める。


α∧(\star α)=|α|^2ω

ここでは α を基底のみのウェッジ積とする。


α=e_{i_1}∧⋯∧e_{i_k}≠0

α の係数が 1 であることから、右辺の係数 |α|^2\star α に由来する。

α\star α とのウェッジ積は基底が ω になることから、\star α の基底は ω から e _ {i_1}⋯e _ {i_k} を取り除いたものとなる。これに k+1 以降の添え字を割り当て、取り除く基底をハットで表すと:


e_{i_{k+1}}∧⋯∧e_{i_n}=e_1∧⋯∧\widehat{e_{i_1}}∧⋯∧\widehat{e_{i_k}}∧⋯∧e_{n}

ウェッジ積の反交換性により、基底の並べ替えに伴って符号が変化する。


σ=\left(\begin{matrix}
    1&⋯&n \\
    i_1&⋯&i_n
    \end{matrix}\right)

\mathrm{sgn}(σ)
=\left\{\begin{array}{rc}
  1&\text{偶置換} \\
  -1&\text{奇置換}
  \end{array}\right.

e_1∧⋯∧e_n=\mathrm{sgn}(σ)e_{i_1}∧⋯∧e_{i_n}

まとめると:


\star α=\mathrm{sgn}(σ)|α|^2e_{i_{k+1}}∧⋯∧e_{i_n}

\begin{aligned}
α∧(\star α)
&=(e_{i_1}∧⋯∧e_{i_k})∧(\mathrm{sgn}(σ)|α|^2e_{i_{k+1}}∧⋯∧e_{i_n}) \\
&=|α|^2\mathrm{sgn}(σ)e_{i_1}∧⋯∧e_{i_n} \\
&=|α|^2e_1∧⋯∧e_n \\
&=|α|^2ω
\end{aligned}

以下、ユークリッド空間での計算例を示す。ユークリッド空間の正規直交基底では |α|^2=1 となるため、並べ替えによって符号 \mathrm{sgn}(σ) を計算すれば良い。

2次元の例


ω=e_1∧e_2

\begin{aligned}
\star 1&=e_1∧e_2&⇐\quad&(1)∧(e_1∧e_2)=ω \\
\star e_1&=e_2&⇐\quad&(e_1)∧(e_2)=ω \\
\star e_2&=-e_1&⇐\quad&(e_2)∧(e_1)=-ω \\
\star(e_1∧e_2)&=1&⇐\quad&(e_1∧e_2)∧(1)=ω \\
\end{aligned}

3次元の例


ω=e_1∧e_2∧e_3

\begin{aligned}
\star 1&=e_1∧e_2∧e_3&⇐\quad&(1)∧(e_1∧e_2∧e_3)=ω \\
\star e_1&=e_2∧e_3&⇐\quad&(e_1)∧(e_2∧e_3)=ω \\
\star e_2&=-e_1∧e_3&⇐\quad&(e_2)∧(e_1∧e_3)=-ω \\
\star e_3&=e_1∧e_2&⇐\quad&(e_3)∧(e_1∧e_2)=ω \\
\star(e_1∧e_2)&=e_3&⇐\quad&(e_1∧e_2)∧(e_3)=ω \\
\star(e_1∧e_3)&=-e_2&⇐\quad&(e_1∧e_3)∧(e_2)=-ω \\
\star(e_2∧e_3)&=e_1&⇐\quad&(e_2∧e_3)∧(e_1)=ω \\
\star(e_1∧e_2∧e_3)&=1&⇐\quad&(e_1∧e_2∧e_3)∧(1)=ω \\
\end{aligned}

巡回的(1→2→3→1→2→3→⋯)に並べればプラスに揃えられる。


\begin{aligned}
\star e_2&=e_3∧e_1 \\
\star(e_3∧e_1)&=e_2
\end{aligned}

4次元の例


ω=e_1∧e_2∧e_3∧e_4

\begin{aligned}
\star 1&=e_1∧e_2∧e_3∧e_4&⇐\quad&(1)∧(e_1∧e_2∧e_3∧e_4)=ω \\
\star e_1&=e_2∧e_3∧e_4&⇐\quad&(e_1)∧(e_2∧e_3∧e_4)=ω \\
\star e_2&=-e_1∧e_3∧e_4&⇐\quad&(e_2)∧(e_1∧e_3∧e_4)=-ω \\
\star e_3&=e_1∧e_2∧e_4&⇐\quad&(e_3)∧(e_1∧e_2∧e_4)=ω \\
\star e_4&=-e_1∧e_2∧e_3&⇐\quad&(e_4)∧(e_1∧e_2∧e_3)=-ω \\
\star(e_1∧e_2)&=e_3∧e_4&⇐\quad&(e_1∧e_2)∧(e_3∧e_4)=ω \\
\star(e_1∧e_3)&=-e_2∧e_4&⇐\quad&(e_1∧e_3)∧(e_2∧e_4)=-ω \\
\star(e_1∧e_4)&=e_2∧e_3&⇐\quad&(e_1∧e_4)∧(e_2∧e_3)=ω \\
\star(e_2∧e_3)&=e_1∧e_4&⇐\quad&(e_2∧e_3)∧(e_1∧e_4)=ω \\
\star(e_2∧e_4)&=-e_1∧e_3&⇐\quad&(e_2∧e_4)∧(e_1∧e_3)=-ω \\
\star(e_3∧e_4)&=e_1∧e_2&⇐\quad&(e_3∧e_4)∧(e_1∧e_2)=ω \\
\star(e_1∧e_2∧e_3)&=e_4&⇐\quad&(e_1∧e_2∧e_3)∧(e_4)=ω \\
\star(e_1∧e_2∧e_4)&=-e_3&⇐\quad&(e_1∧e_2∧e_4)∧(e_3)=-ω \\
\star(e_1∧e_3∧e_4)&=e_2&⇐\quad&(e_1∧e_3∧e_4)∧(e_2)=ω \\
\star(e_2∧e_3∧e_4)&=-e_1&⇐\quad&(e_2∧e_3∧e_4)∧(e_1)=-ω \\
\star(e_1∧e_2∧e_3∧e_4)&=1&⇐\quad&(e_1∧e_2∧e_3∧e_4)∧(1)=ω \\
\end{aligned}

クリフォード代数による計算

幾何積では内積外積(ウェッジ積)を同時に計算するため、内積の計算にホッジ双対を使う必要はないが、幾何積の性質を利用すれば簡単にホッジ双対が求まる。

\star α=\tilde αiチルダは逆順、i は単位擬スカラー)とすれば:


α∧(\star α)=α\tilde αi=|α|^2i

\tilde αi には、同じ基底を交換により隣接させて内積を求める過程に \mathrm{sgn}(σ)|α|^2 の計算が含まれている。


\begin{aligned}
\tilde αi
&=\tilde α(e_1⋯e_n) \\
&=\tilde α(\mathrm{sgn}(σ)e_{i_1}⋯e_{i_n}) \\
&=\tilde α(\mathrm{sgn}(σ)αe_{i_{k+1}}⋯e_{i_n}) \\
&=\mathrm{sgn}(σ)(\tilde αα)e_{i_{k+1}}⋯e_{i_n} \\
&=\mathrm{sgn}(σ)|α|^2e_{i_{k+1}}⋯e_{i_n} \\
&=\star α
\end{aligned}

Wikipedia3次元の例ではクリフォード代数に言及している。


{\mathbf {A}}={\mathbf {a}}i\,,\quad {\mathbf {a}}=-{\mathbf {A}}i.

逆順にすれば符号調整は不要となる。


{\mathbf {A}}={\mathbf {\tilde a}}i\,,\quad {\mathbf {a}}={\mathbf {\tilde A}}i.

ユークリッド空間の例

4次元で確認する。


\begin{aligned}
\star 1&=1(e_1e_2e_3e_4)=e_1e_2e_3e_4 \\
\star e_1&=e_1(e_1e_2e_3e_4)=e_2e_3e_4 \\
\star e_2&=e_2(e_1e_2e_3e_4)=-e_1e_3e_4 \\
\star e_3&=e_3(e_1e_2e_3e_4)=e_1e_2e_4 \\
\star e_4&=e_4(e_1e_2e_3e_4)=-e_1e_2e_3 \\
\star(e_1e_2)&=(e_2e_1)(e_1e_2e_3e_4)=e_3e_4 \\
\star(e_1e_3)&=(e_3e_1)(e_1e_2e_3e_4)=-e_2e_4 \\
\star(e_1e_4)&=(e_4e_1)(e_1e_2e_3e_4)=e_2e_3 \\
\star(e_2e_3)&=(e_3e_2)(e_1e_2e_3e_4)=e_1e_4 \\
\star(e_2e_4)&=(e_4e_2)(e_1e_2e_3e_4)=-e_1e_3 \\
\star(e_3e_4)&=(e_4e_3)(e_1e_2e_3e_4)=e_1e_2 \\
\star(e_1e_2e_3)&=(e_3e_2e_1)(e_1e_2e_3e_4)=e_4 \\
\star(e_1e_2e_4)&=(e_4e_2e_1)(e_1e_2e_3e_4)=-e_3 \\
\star(e_1e_3e_4)&=(e_4e_3e_1)(e_1e_2e_3e_4)=e_2 \\
\star(e_2e_3e_4)&=(e_4e_3e_2)(e_1e_2e_3e_4)=-e_1 \\
\star(e_1e_2e_3e_4)&=(e_4e_3e_2e_1)(e_1e_2e_3e_4)=1 \\
\end{aligned}

ミンコフスキー空間の例

ホッジ双対に計量が関係するミンコフスキー空間でも、同様の手順で求まる。

計量は西海岸規約 (+---) とする。

光速を省略

簡単のため c=1 として光速を省略する。時空代数の流儀に従って基底は γ で表記し、微分形式との対応から添え字は上に付ける。


(γ^0)^2=1,\ (γ^1)^2=(γ^2)^2=(γ^3)^2=-1,\ i=γ^0γ^1γ^2γ^3

(γ ^ 0) ^ 2 における上付きの数字には2種類の意味がある。γ に直接付いている 0 は添え字で、括弧に付いている 2 は指数を表す。


\begin{aligned}
\star 1&=1(γ^0γ^1γ^2γ^3)=γ^0γ^1γ^2γ^3 \\
\star γ^0&=γ^0(γ^0γ^1γ^2γ^3)=γ^1γ^2γ^3 \\
\star γ^1&=γ^1(γ^0γ^1γ^2γ^3)=γ^0γ^2γ^3 \\
\star γ^2&=γ^2(γ^0γ^1γ^2γ^3)=-γ^0γ^1γ^3=γ^0γ^3γ^1 \\
\star γ^3&=γ^3(γ^0γ^1γ^2γ^3)=γ^0γ^1γ^2 \\
\star(γ^0γ^1)&=(γ^1γ^0)(γ^0γ^1γ^2γ^3)=-γ^2γ^3 \\
\star(γ^0γ^2)&=(γ^2γ^0)(γ^0γ^1γ^2γ^3)=γ^1γ^3 \\
\star(γ^0γ^3)&=(γ^3γ^0)(γ^0γ^1γ^2γ^3)=-γ^1γ^2 \\
\star(γ^1γ^2)&=(γ^2γ^1)(γ^0γ^1γ^2γ^3)=γ^0γ^3 \\
\star(γ^1γ^3)&=(γ^3γ^1)(γ^0γ^1γ^2γ^3)=-γ^0γ^2 \\
\star(γ^2γ^3)&=(γ^3γ^2)(γ^0γ^1γ^2γ^3)=γ^0γ^1 \\
\star(γ^0γ^1γ^2)&=(γ^2γ^1γ^0)(γ^0γ^1γ^2γ^3)=γ^3 \\
\star(γ^0γ^1γ^3)&=(γ^3γ^1γ^0)(γ^0γ^1γ^2γ^3)=-γ^2 \\
\star(γ^0γ^2γ^3)&=(γ^3γ^2γ^0)(γ^0γ^1γ^2γ^3)=γ^1 \\
\star(γ^1γ^2γ^3)&=(γ^3γ^2γ^1)(γ^0γ^1γ^2γ^3)=γ^0 \\
\star(γ^0γ^1γ^2γ^3)&=(γ^3γ^2γ^1γ^0)(γ^0γ^1γ^2γ^3)=-1 \\
\end{aligned}

γ ^ 0,γ ^ 1,γ ^ 2,γ ^ 3\mathrm dt,\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz に読み替えれば、Wikipedia4次元の例と一致することが確認できる。


  \begin{aligned}
  \star {\mathrm {d}}t&={\mathrm {d}}x\wedge {\mathrm {d}}y\wedge {\mathrm {d}}z \\
  \star {\mathrm {d}}x&={\mathrm {d}}t\wedge {\mathrm {d}}y\wedge {\mathrm {d}}z \\
  \star {\mathrm {d}}y&={\mathrm {d}}t\wedge {\mathrm {d}}z\wedge {\mathrm {d}}x \\
  \star {\mathrm {d}}z&={\mathrm {d}}t\wedge {\mathrm {d}}x\wedge {\mathrm {d}}y \\
  \star ({\mathrm {d}}t\wedge {\mathrm {d}}x)&=-{\mathrm {d}}y\wedge {\mathrm {d}}z \\
  \star ({\mathrm {d}}t\wedge {\mathrm {d}}y)&={\mathrm {d}}x\wedge {\mathrm {d}}z \\
  \star ({\mathrm {d}}t\wedge {\mathrm {d}}z)&=-{\mathrm {d}}x\wedge {\mathrm {d}}y \\
  \star ({\mathrm {d}}x\wedge {\mathrm {d}}y)&={\mathrm {d}}t\wedge {\mathrm {d}}z \\
  \star ({\mathrm {d}}x\wedge {\mathrm {d}}z)&=-{\mathrm {d}}t\wedge {\mathrm {d}}y \\
  \star ({\mathrm {d}}y\wedge {\mathrm {d}}z)&={\mathrm {d}}t\wedge {\mathrm {d}}x \\
  \end{aligned}

光速を表記

cdt をひとまとめにして計量を定義する。


(c\,dt)^2=1,\ dx^2=dy^2=dz^2=-1,\ i=c\,dt\,dx\,dy\,dz

c に注意して計算する。


\star (c\,dt)=c\,dt(c\,dt\,dx\,dy\,dz)=dx\,dy\,dz

c で割れば \star dt が得られる。

\displaystyle
\star dt=\frac 1 c\,dx\,dy\,dz

同様にして:


\begin{aligned}
\star 1&=1(c\,dt\,dx\,dy\,dz)=c\,dt\,dx\,dy\,dz \\
\star dt&=\frac 1 c\,c\,dt(c\,dt\,dx\,dy\,dz)=\frac 1 c\,dx\,dy\,dz \\
\star dx&=dx(c\,dt\,dx\,dy\,dz)=c\,dt\,dy\,dz \\
\star dy&=dy(c\,dt\,dx\,dy\,dz)=c\,dt\,dz\,dx \\
\star dz&=dz(c\,dt\,dx\,dy\,dz)=c\,dt\,dx\,dy \\
\star (dt\,dx)&=\frac 1 c(dx\,c\,dt)(c\,dt\,dx\,dy\,dz)=-\frac 1 c\,dy\,dz \\
\star (dt\,dy)&=\frac 1 c(dy\,c\,dt)(c\,dt\,dx\,dy\,dz)=-\frac 1 c\,dz\,dx \\
\star (dt\,dz)&=\frac 1 c(dz\,c\,dt)(c\,dt\,dx\,dy\,dz)=-\frac 1 c\,dx\,dy \\
\star (dx\,dy)&=(dy\,dx)(c\,dt\,dx\,dy\,dz)=c\,dt\,dz \\
\star (dy\,dz)&=(dz\,dy)(c\,dt\,dx\,dy\,dz)=c\,dt\,dx \\
\star (dz\,dx)&=(dx\,dz)(c\,dt\,dx\,dy\,dz)=c\,dt\,dy \\
\star (dt\,dx\,dy)&=\frac 1 c(dy\,dx\,c\,dt)(c\,dt\,dx\,dy\,dz)=\frac 1 c\,dz \\
\star (dt\,dy\,dz)&=\frac 1 c(dz\,dy\,c\,dt)(c\,dt\,dx\,dy\,dz)=\frac 1 c\,dx \\
\star (dt\,dz\,dx)&=\frac 1 c(dx\,dz\,c\,dt)(c\,dt\,dx\,dy\,dz)=\frac 1 c\,dy \\
\star (dx\,dy\,dz)&=(dz\,dy\,dx)(c\,dt\,dx\,dy\,dz)=c\,dt \\
\star (c\,dt\,dx\,dy\,dz)&=(dz\,dy\,dx\,c\,dt)(c\,dt\,dx\,dy\,dz)=-1
\end{aligned}

同じパターンでの符号を揃えるため、空間成分を巡回的に並べている。

2回適用

ホッジスターの2回適用、つまりホッジ双対のホッジ双対について考える。

Wikipedia双対性より、η は n 次元の k-ベクトルとして:


\star\star η=(-1)^{k(n-k)}sη

s は単位擬スカラー ω のノルムの2乗を表す。


s=|ω|^2

Wikipedia では次の補足がある。

通常のユークリッド空間では符号は常に正であり、従って、s=1 である。

導出

n 次元 k-形式の基底の添え字を i _ 1,⋯,i _ k、そのホッジ双対の基底の添え字を i _ k+1,⋯,i _ n と一続きの数列で表す。基底の置換とホッジ双対を示す。


σ=\left(\begin{matrix}
    1&⋯&n \\
    i_1&⋯&i_n
    \end{matrix}\right)

\star(dx_{i_1}∧⋯∧dx_{i_k})=\mathrm{sgn}(σ)|dx_{i_1}∧⋯∧dx_{i_k}|^2 dx_{i_{k+1}}∧⋯∧dx_{i_n}

右辺の基底だけを取り出して、置換とホッジ双対を示す。


σ'=\left(\begin{matrix}
    1&⋯&n-k&n-k+1&⋯&n \\
    i_{k+1}&⋯&i_n&i_1&⋯&i_k
    \end{matrix}\right)

\star(dx_{i_{k+1}}∧⋯∧dx_{i_n})=\mathrm{sgn}(σ')|dx_{i_{k+1}}∧⋯∧dx_{i_n}|^2 dx_{i_1}∧⋯∧dx_{i_k}

以上を組み合わせれば、ホッジスターの2回適用となる。単位擬スカラーω とすれば:


\star\star(dx_{i_1}∧⋯∧dx_{i_k})=\mathrm{sgn}(σ')\mathrm{sgn}(σ)|ω|^2 dx_{i_1}∧⋯∧dx_{i_k}

同じ基底に戻るため、作用に着目すれば符号と計量が発生する。s=|ω|^2 とすれば:


\star\star=\mathrm{sgn}(σ')\mathrm{sgn}(σ)s

置換の積の符号を求める。置換 A の次に置換 B を行う積を BA の順に表記して σ' を分解すれば:


σ'=\left(\begin{matrix}
    i_1&⋯&i_{n-k}&i_{n-k+1}&⋯&i_n \\
    i_{k+1}&⋯&i_n&i_1&⋯&i_k
    \end{matrix}\right)
  \underbrace{\left(\begin{matrix}
    1&⋯&n \\
    i_1&⋯&i_n
    \end{matrix}\right)}_σ

置換の符号は添え字だけに注目すれば良いので:


\begin{aligned}
\mathrm{sgn}(σ')
&=\mathrm{sgn}
  \left(\begin{matrix}
    1&⋯&n-k&n-k+1&⋯&n \\
    k+1&⋯&n&1&⋯&k
    \end{matrix}\right)\mathrm{sgn(σ)} \\
&=(-1)^{k(n-k)}\mathrm{sgn(σ)} \\
\mathrm{sgn}(σ')\mathrm{sgn}(σ)
&=(-1)^{k(n-k)}\underbrace{\mathrm{sgn(σ)}\mathrm{sgn}(σ)}_1 \\
&=(-1)^{k(n-k)}
\end{aligned}

よってホッジスターの2回適用は:


\star\star=\mathrm{sgn}(σ')\mathrm{sgn}(σ)s=(-1)^{k(n-k)}s

クリフォード代数による導出

クリフォード代数によって示す。


\begin{aligned}
\star\star η
&=\star(\tilde ηi) \\
&=(\widetilde{\tilde ηi})i \\
&=\tilde iηi \\
&=(-1)^{k(n-k)}\tilde iiη \\
&=(-1)^{k(n-k)}|i|^2η \\
\end{aligned}

途中で ηi を交換している。この計算方法を示す。

i の基底の1つを動かして η を飛び越すのに必要な交換の回数:

  • η に含まれる:k-1
  • η に含まれない:k

個数を掛けると:

  • η に含まれる:(k-1)k
  • η に含まれない:k(n-k)

(k-1)k は偶数になるため、偶奇の判定には k(n-k) だけを使えば良い。👉付録


ηi=(-1)^{k(n-k)}iη

次元

次元によって場合分けすれば、指数部が単純化できる。

それにはクリフォード代数による導出で現れた (k-1)k を足すと分かりやすい。


k(n-k)+(k-1)k=kn-k^2+k^2-k=k(n-1)

k(n-k)k(n-1) の偶奇は等しいことから:👉付録


(-1)^{k(n-k)}=(-1)^{k(n-1)}

奇数次元(n が奇数)では n-1 が偶数になるため:(-1)^{k(n-1)}=1

偶数次元(n が偶数)では k の偶奇で決まるため:(-1) ^ {k(n-1)}=(-1) ^ k

まとめると:


\star\star
=(-1)^{k(n-k)}s
=\left\{\begin{array}{rc}
  s &\text{奇数次元} \\
  (-1)^ks &\text{偶数次元}
  \end{array}\right.

写像

ホッジスターの逆写像 \star^{-1} を考える。

2回適用の節で求めたホッジ双対を再掲する。


\begin{aligned}
\star(dx_{i_1}∧⋯∧dx_{i_k})&=\mathrm{sgn}(σ)|dx_{i_1}∧⋯∧dx_{i_k}|^2 dx_{i_{k+1}}∧⋯∧dx_{i_n} \\
\star(dx_{i_{k+1}}∧⋯∧dx_{i_n})&=\mathrm{sgn}(σ')|dx_{i_{k+1}}∧⋯∧dx_{i_n}|^2 dx_{i_1}∧⋯∧dx_{i_k}
\end{aligned}

ここから逆写像を作る。\mathrm{sgn}±1 のどちらかのため逆数が変化しない。


\begin{aligned}
\star^{-1}(dx_{i_{k+1}}∧⋯∧dx_{i_n})
&=\frac{\mathrm{sgn}(σ)}{|dx_{i_1}∧⋯∧dx_{i_k}|^2}dx_{i_1}∧⋯∧dx_{i_k} \\
\star^{-1}(dx_{i_1}∧⋯∧dx_{i_k})
&=\frac{\mathrm{sgn}(σ')}{|dx_{i_{k+1}}∧⋯∧dx_{i_n}|^2}dx_{i_{k+1}}∧⋯∧dx_{i_n} \\
&=\frac{(-1)^{k(n-k)}\mathrm{sgn}(σ)}{|dx_{i_{k+1}}∧⋯∧dx_{i_n}|^2}dx_{i_{k+1}}∧⋯∧dx_{i_n}
\end{aligned}

dx _ {i _ 1}∧⋯∧dx _ {i _ k} に対するホッジスターとその逆写像を並べれば:


\begin{aligned}
\star(dx_{i_1}∧⋯∧dx_{i_k})&=\mathrm{sgn}(σ)|dx_{i_1}∧⋯∧dx_{i_k}|^2 dx_{i_{k+1}}∧⋯∧dx_{i_n} \\
\star^{-1}(dx_{i_1}∧⋯∧dx_{i_k})
&=\frac{(-1)^{k(n-k)}\mathrm{sgn}(σ)}{|dx_{i_{k+1}}∧⋯∧dx_{i_n}|^2}dx_{i_{k+1}}∧⋯∧dx_{i_n}
\end{aligned}

基底が直交していれば個々の計量に分解できる。


\begin{aligned}
\frac 1{|dx_{i_{k+1}}∧⋯∧dx_{i_n}|^2}
&=\frac 1{|dx_{i_{k+1}}|^2⋯|dx_{i_n}|^2} \\
&=\frac{|dx_{i_1}|^2⋯|dx_{i_k}|^2}{|dx_{i_1}|^2⋯|dx_{i_k}|^2|dx_{i_{k+1}}|^2⋯|dx_{i_n}|^2} \\
&=\frac 1 s |dx_{i_1}|^2⋯|dx_{i_k}|^2
\end{aligned}

これによってホッジスターの逆写像は符号の補正で表せる。


\begin{aligned}
\star^{-1}(dx_{i_1}∧⋯∧dx_{i_k})
&=(-1)^{k(n-k)}\frac 1 s \mathrm{sgn}(σ)|dx_{i_1}∧⋯∧dx_{i_k}|^2 dx_{i_{k+1}}∧⋯∧dx_{i_n} \\
&=(-1)^{k(n-k)}\frac 1 s\star(dx_{i_1}∧⋯∧dx_{i_k})
\end{aligned}

左辺と右辺の基底は同じため、作用素の関係だけを取り出せる。


\star^{-1}
=(-1)^{k(n-k)}s^{-1}\star
=\left\{\begin{array}{rc}
  s^{-1}\star &\text{奇数次元} \\
  (-1)^ks^{-1}\star &\text{偶数次元}
  \end{array}\right.

周期性

s=|ω|^2±1 のどちらかであれば s=s ^ {-1} となり、逆写像は符号だけの違いとなる。


\star^{-1}=(-1)^{k(n-k)}s\star

Wikipedia双対性にはこちらが掲載されている。


{\begin{cases}\star ^{{-1}}:\Lambda ^{k}\to \Lambda ^{{n-k}}\\\eta \mapsto (-1)^{{k(n-k)}}s{\star \eta }\end{cases}}

ホッジスターの2回適用も符号だけが変化する。


\star\star
=(-1)^{k(n-k)}s
=\left\{\begin{array}{rc}
  s &\text{奇数次元} \\
  (-1)^ks &\text{偶数次元}
  \end{array}\right.

写像と2回適用を見比べれば、3回適用が逆写像と等しいことが分かる。


\star^{-1}
=(\star\star)\star
=(-1)^{k(n-k)}s\star
=\left\{\begin{array}{rc}
  s\star &\text{奇数次元} \\
  (-1)^ks\star &\text{偶数次元}
  \end{array}\right.

これはホッジスターが周期性を持つことを表している。

\star\star=1:ホッジスターを2回適用すれば元に戻る。(周期2)

\star\star=-1:ホッジスターを4回適用すれば元に戻る。(周期4)

付録

符号の計算で偶奇を調べるのは 2 で割った余りを見ている。この種の計算は 2 を法とする合同式と呼ばれる。

k を整数とすると、次の関係が成り立つ。


k+k≡0\ (\mathrm{mod}\ 2) \\
k²≡k\ (\mathrm{mod}\ 2)

今回出て来た式なども機械的に計算できる。(mod 2) の表記は省略する。


k(k-1)=k^2-k≡k-k=0 \\
k(k+1)=k^2+k≡k+k≡0 \\
k(n-k)=kn-k^2≡kn-k=k(n-1)