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AIにスピノルのことを聞いてみた

教えてAI 一発検索」という複数の AI に同時に質問できるサービスを利用して、スピノルの質問をしてみました。

目次

質問

ピノルの自己外積からパウリ行列の線形結合を求める。

講評

LLM 評価 講評
GPT-3.5 Turbo × 計算がおかしい
GPT-4o 連立方程式で計算
Gemini 1.0 Pro × 計算がおかしい
Gemini 1.5 Pro トレースで計算
Gemini 1.5 Flash スピングルと誤記、計算は正しいが、$\vec a$ の求め方が欲しい
Claude 3 Haiku × 計算がおかしい
Claude 3 Sonnet 計算は正しいが、$\vec r$ の求め方が欲しい
Claude 3 Opus 計算は正しいが、$\langle \sigma_i \rangle$ の求め方が欲しい

GPT-3.5 Turbo, Gemini 1.0 Pro, Claude 3 Haiku に数学を期待しない方が良さそうです。

足りないことは追加で質問して探れば良いので、「求め方が欲しい」というのは、実用上、それほど問題ではないでしょう。

GPT-3.5 Turbo

ピノルとして

\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}

を考えると、その自己外積は以下のように表される。

\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & ab \\ ab & b^2 \end{pmatrix}

これをパウリ行列の線形結合として表現すると、

\begin{pmatrix} a^2 & ab \\ ab & b^2 \end{pmatrix} = a^2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + ab \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + b^2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = a^2 I + ab \sigma_x + b^2 \sigma_z

したがって、スピノルの自己外積からパウリ行列の線形結合は、

a^2 I + ab \sigma_x + b^2 \sigma_z

で表される。

GPT-4o

ピノルの自己外積からパウリ行列の線形結合を求めるためには、具体的なスピノ$\psi$ を用いて計算を進めます。スピノ$\psi$ は通常、次のように2成分の複素数ベクトルとして表されます:

\psi = \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix}

ピノルの自己外積(アウトプロダクト)$\psi \psi^\dagger$ は次のような2x2の行列になります:

\psi \psi^\dagger = \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi_1^* & \psi_2^* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} |\psi_1|^2 & \psi_1 \psi_2^* \\ \psi_2 \psi_1^* & |\psi_2|^2 \end{pmatrix}

ここで、自己外積の行列が次の形に線形結合で表すことを試みます:

\psi \psi^\dagger = c_0 I + \sum_{i=1}^3 c_i \sigma_i

ここで $I$ は2x2の単位行列$\sigma_i$は(i=1,2,3の)パウリ行列です。パウリ行列は以下の通りです:

\sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

単位行列 $I$ は以下の通りです:

I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

それでは、与えられた自己外積行列を成分ごとに比較して、対応する係数 $c_0$$c_1$$c_2$$c_3$ を求めましょう。

\psi \psi^\dagger = \begin{pmatrix} |\psi_1|^2 & \psi_1 \psi_2^* \\ \psi_2 \psi_1^* & |\psi_2|^2 \end{pmatrix}

に対し、パウリ行列の線形結合を以下のように書くことができます:

c_0 I + c_1 \sigma_1 + c_2 \sigma_2 + c_3 \sigma_3 = c_0 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + c_1 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

比較するため、上記の右辺を展開し、与えられた行列と一致させます。

左上成分:

c_0 + c_3 = |\psi_1|^2

右上成分:

c_1 - i c_2 = \psi_1 \psi_2^*

左下成分:

c_1 + i c_2 = \psi_2 \psi_1^*

右下成分:

c_0 - c_3 = |\psi_2|^2

これらの方程式を解くことで係数を求めます:

  1. $c_0 = \frac{|\psi_1|^2 + |\psi_2|^2}{2}$
  2. $c_3 = \frac{|\psi_1|^2 - |\psi_2|^2}{2}$
  3. $c_1 = \text{Re}(\psi_1 \psi_2^*)$
  4. $c_2 = \text{Im}(\psi_1 \psi_2^*)$

したがって、得られた線形結合をまとめると:

\psi \psi^\dagger = \frac{|\psi_1|^2 + |\psi_2|^2}{2} I + \text{Re}(\psi_1 \psi_2^*) \sigma_1 + \text{Im}(\psi_1 \psi_2^*) \sigma_2 + \frac{|\psi_1|^2 - |\psi_2|^2}{2} \sigma_3

となります。これが求める自己外積をパウリ行列の線形結合として表現した形です。

Gemini 1.0 Pro

ステップ 1: スピノルの自己外積を定義する

2つのスピノ$\psi$$\phi$ の自己外積は次のように定義されます。

\psi \otimes \psi = (\psi_1 \psi_2, \psi_3 \psi_4, \psi_5 \psi_6, \psi_7 \psi_8)^T

ここで、$\psi = (\psi_1, \psi_2, \psi_3, \psi_4, \psi_5, \psi_6, \psi_7, \psi_8)^T$ です。

ステップ 2: パウリ行列を定義する

3つのパウリ行列は次のように定義されています。

\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}

ステップ 3: パウリ行列の線形結合を構築する

自己外積はパウリ行列の線形結合として表すことができます。

\psi \otimes \psi = a \sigma_x + b \sigma_y + c \sigma_z

ここで、$a$, $b$, $c$ は実係数です。

ステップ 4: 係数を決定する

$a$, $b$, $c$ を決定するには、両辺の成分を比較します。例えば、最初の成分を比較すると次のようになります。

\psi_1 \psi_2 = a

したがって、$a = \psi_1 \psi_2$ です。同様に、他の係数を求めることができます。

最終的な結果

したがって、スピノルの自己外積からパウリ行列の線形結合は次のようになります。

\psi \otimes \psi = (\psi_1 \psi_2) \sigma_x + (\psi_3 \psi_4) \sigma_y + (\psi_5 \psi_6 + \psi_7 \psi_8) \sigma_z

Gemini 1.5 Pro

ピノルの自己外積からパウリ行列の線形結合を求める

ピノ$\psi = \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix}$ の自己外積は、以下のように計算できます。

\psi \otimes \psi^\dagger = \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi_1^* & \psi_2^* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} |\psi_1|^2 & \psi_1 \psi_2^* \\ \psi_2 \psi_1^* & |\psi_2|^2 \end{pmatrix}

これをパウリ行列 $\sigma_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ の線形結合で表すことを考えます。

まず、自己外積のトレースをとると、

\text{Tr}(\psi \otimes \psi^\dagger) = |\psi_1|^2 + |\psi_2|^2 = \psi^\dagger \psi

となります。これは、パウリ行列の性質 $\text{Tr}(\sigma_0) = 2, \text{Tr}(\sigma_i) = 0 (i=1,2,3)$ から、線形結合の係数に $\psi^\dagger \psi$ が現れることを示唆しています。

次に、各パウリ行列との積のトレースを計算すると、

\begin{aligned}
\text{Tr}((\psi \otimes \psi^\dagger)\sigma_1) &= \psi_1 \psi_2^* + \psi_2 \psi_1^* = 2 \text{Re}(\psi_1 \psi_2^*) \\
\text{Tr}((\psi \otimes \psi^\dagger)\sigma_2) &= -i(\psi_1 \psi_2^* - \psi_2 \psi_1^*) = 2 \text{Im}(\psi_1 \psi_2^*) \\
\text{Tr}((\psi \otimes \psi^\dagger)\sigma_3) &= |\psi_1|^2 - |\psi_2|^2 
\end{aligned}

となります。これらの式とパウリ行列のトレースの性質から、スピノルの自己外積はパウリ行列を用いて以下のように表すことができます。

\psi \otimes \psi^\dagger = \frac{1}{2} (\psi^\dagger \psi \sigma_0 + \text{Re}(\psi_1 \psi_2^*)\sigma_1 + \text{Im}(\psi_1 \psi_2^*)\sigma_2 + (|\psi_1|^2 - |\psi_2|^2)\sigma_3)

これは、スピノルの自己外積が、スピノルのノルムと位相の情報を含むパウリ行列の線形結合として表現できることを示しています。

Gemini 1.5 Flash

ピノルの自己外積からパウリ行列の線形結合を求める方法を説明します。

1. スピングル

2成分スピノルは、次のように表されます。

\chi = \begin{pmatrix}
\chi_1 \\
\chi_2
\end{pmatrix}

ここで、$\chi_1$$\chi_2$複素数です。

2. 自己外積

ピノルの自己外積は、次のように定義されます。

\chi \chi^\dagger = \begin{pmatrix}
\chi_1 \\
\chi_2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\chi_1^* & \chi_2^*
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
|\chi_1|^2 & \chi_1 \chi_2^* \\
\chi_2 \chi_1^* & |\chi_2|^2
\end{pmatrix}

ここで、$\dagger$ はエルミート共役を表します。

3. パウリ行列

パウリ行列は、次の3つの行列です。

\sigma_1 = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}, \quad
\sigma_2 = \begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix}, \quad
\sigma_3 = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}

4. パウリ行列の線形結合

ピノルの自己外積は、パウリ行列と単位行列の線形結合で表すことができます。

\chi \chi^\dagger = \frac{1}{2} (\mathbb{I} + \vec{a} \cdot \vec{\sigma})

ここで、$\mathbb{I}$単位行列$\vec{a}$ は3次元ベクトルです。

5. 線形結合の係数

ベクトル $\vec{a}$ の成分は、次のように計算できます。

a_x = \chi_1 \chi_2^* + \chi_2 \chi_1^*
a_y = -i (\chi_1 \chi_2^* - \chi_2 \chi_1^*)
a_z = |\chi_1|^2 - |\chi_2|^2

6. 例

例えば、スピノルが次のように与えられた場合。

\chi = \begin{pmatrix}
1 \\
i
\end{pmatrix}

自己外積は次のようになります。

\chi \chi^\dagger = \begin{pmatrix}
1 & -i \\
i & 1
\end{pmatrix}

この自己外積は、パウリ行列の線形結合で次のように表すことができます。

\chi \chi^\dagger = \frac{1}{2} (\mathbb{I} + \sigma_1)

まとめ

ピノルの自己外積は、パウリ行列の線形結合で表すことができます。この線形結合の係数は、スピノルの成分から計算できます。

Claude 3 Haiku

ピノルの自己外積からパウリ行列の線形結合を求めるには以下の手順を踏みます。

  1. ピノルの自己外積を計算する。 スピノル ψ の自己外積は以下のように表すことができます。

ψ ⊗ ψ = (ψ_1, ψ_2) ⊗ (ψ_1, ψ_2) = (ψ_1 ψ_1, ψ_1 ψ_2, ψ_2 ψ_1, ψ_2 ψ_2)

  1. パウリ行列の定義を用いる。 パウリ行列は以下のように定義されます。

σ_0 = (1 0, 0 1)
σ_1 = (0 1, 1 0)
σ_2 = (0 -i, i 0)
σ_3 = (1 0, 0 -1)

  1. ピノルの自己外積をパウリ行列の線形結合で表す。 上で求めたスピノルの自己外積の各成分をパウリ行列の線形結合で表すと以下のようになります。

ψ_1 ψ_1 = 1/2 (σ_0 + σ_3)
ψ_1 ψ_2 = 1/2 (σ_1 + i σ_2)
ψ_2 ψ_1 = 1/2 (σ_1 - i σ_2)
ψ_2 ψ_2 = 1/2 (σ_0 - σ_3)

この結果から、スピノルの自己外積はパウリ行列の線形結合で表されることがわかります。

Claude 3 Sonnet

ピノルの自己外積から、パウリ行列の線形結合を求めるには以下の手順が必要です。

  1. ピノルの定義を理解する

  2. ピノル積を定義する

    • ピノル積は、2つのスピノルの組み合わせで定義される演算です。
    • ピノル積にはさまざまな種類がありますが、自己外積は特に重要です。
  3. ピノルの自己外積を計算する

    • ピノルの自己外積は、スピノルとその複素共役テンソル積で表されます。
    • 具体的には、スピノ$\psi = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$ とすると、その自己外積
      $\psi \otimes \psi^* = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \alpha^* & \beta^* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha\alpha^* & \alpha\beta^* \\ \beta\alpha^* & \beta\beta^* \end{pmatrix}$
      と計算できます。
  4. パウリ行列との関係を導出する

    • パウリ行列は2x2の行列で、量子力学状態ベクトルの表現に使われます。
    • ピノルの自己外積とパウリ行列の間には以下の関係があります:
      $\displaystyle{\psi \otimes \psi^* = \frac{1}{2}\left(I + \vec{r} \cdot \vec{\sigma}\right)}$
      ただし、$I$は2x2の単位行列$\vec{\sigma} = (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)$はパウリ行列の組、$\vec{r}$はスピノルから導かれる実数ベクトルです。
  5. 具体的な係数を求める

    • 上の関係式から、スピノルの自己外積がパウリ行列の線形結合で表せることがわかります。
    • 係数を具体的に求めると、例えば
      $\displaystyle{\psi \otimes \psi^* = \frac{1}{2}\left(I + r_x\sigma_x + r_y\sigma_y + r_z\sigma_z\right)}$
      ただし、$r_x = 2\textrm{Re}(\alpha\beta^*)$$r_y = 2\textrm{Im}(\alpha\beta^*)$$r_z = |\alpha|^2 - |\beta|^2$です。

このように、スピノルの自己外積からパウリ行列の線形結合を明示的に導出することができます。量子力学におけるスピノルの物理的解釈を考える上で、この関係は重要です。

Claude 3 Opus

ピノルの自己外積からパウリ行列の線形結合を求める方法を説明します。

ピノ$\psi$ を2成分の複素数ベクトルとして表現します。

\psi = \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix}

ピノルの自己外積 $\psi \otimes \psi^\dagger$ を計算すると、以下の行列が得られます。

\psi \otimes \psi^\dagger = \begin{pmatrix} 
\psi_1 \psi_1^* & \psi_1 \psi_2^* \\
\psi_2 \psi_1^* & \psi_2 \psi_2^*
\end{pmatrix}

ここで、$\psi_i^*$ はスピノルの第 $i$ 成分の複素共役を表します。

次に、パウリ行列 $\sigma_i$ を導入します。

\sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad
\sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad
\sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

また、単位行列 $I$ を定義します。

I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

ピノルの自己外積 $\psi \otimes \psi^\dagger$ は、パウリ行列と単位行列の線形結合として表すことができます。

\psi \otimes \psi^\dagger = \frac{1}{2} \left( |\psi_1|^2 + |\psi_2|^2 \right) I + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^3 \langle \sigma_i \rangle \sigma_i

ここで、$\langle \sigma_i \rangle$ は以下のように定義されます。

\langle \sigma_1 \rangle = \psi_1^* \psi_2 + \psi_2^* \psi_1, \quad
\langle \sigma_2 \rangle = -i(\psi_1^* \psi_2 - \psi_2^* \psi_1), \quad
\langle \sigma_3 \rangle = |\psi_1|^2 - |\psi_2|^2

したがって、スピノルの自己外積からパウリ行列の線形結合を求めることができました。この関係は、量子力学におけるスピン状態の記述や計算に広く用いられています。