四元数

四元数は複素数に新しい虚数単位 $j$ を追加して、$i$ と $j$ の積を交換すると符号が反転する（反交換性）というルールから組み立てられます。

i^2=j^2=-1,\ ij=-ji

$ij$ を $k$ と表記します。

ij=:k

$k$ を含む演算は $ij$ に置き換えれば導けます。

\begin{aligned} k^2&=ijk=ijij=-iijj=-1 \\ ik&=iij=-j \\ ki&=iji=-iij=j \\ jk&=jij=-ijj=i \\ kj&=ijj=-i \end{aligned}

以上の計算から $i,j,k$ はお互いに反交換であることが分かります。まとめると以下の通りです。

i^2=j^2=k^2=ijk=-1 \\ ij=-ji=k,\ jk=-kj=i,\ ki=-ik=j

$i→j→k→i→j→\cdots$ と巡回的に並べると、順番に 3 つ取り出した組み合わせが正になります。（巡回性）

ij=k,\ jk=i,\ ki=j

表現行列を作る

四元数の積を、作用する側と作用される側に分離して考えます。

作用される側を4次元のベクトルとして表現します。

a+bi+cj+dk\ \mapsto\ \begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}\quad(a,b,c,d∈\mathbb R)

各虚数単位ごとに左からの作用を調べます。

\begin{alignedat}{3} i(a+bi+cj+dk)&=ai-b+ck-dj&&=-b+ai-dj+ck \\ j(a+bi+cj+dk)&=aj-bk-c+di&&=-c+di+aj-bk \\ k(a+bi+cj+dk)&=ak+bj-ci-d&&=-d-ci+bj+ak \end{alignedat}

同じ結果を、行列をベクトルに作用させることで表現します。

I\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-b\\\;\;\;a\\-d\\\;\;\;c\end{pmatrix}, \ J\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-c\\\;\;\;d\\\;\;\;a\\-b\end{pmatrix}, \ K\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-d\\-c\\\;\;\;b\\\;\;\;a\end{pmatrix}

$1+i+j+k$ に左から $i,j,k$ を掛けて、得られた積から係数を抜き出して縦に並べれば、表現行列が得られます。

\begin{alignedat}{6} i(1+i+j+k) =&&&i&&-1&+&k&&-j&& \\ =&1&(&&&-1&&&&&&) \\ +&i&(&1&&&&&&&&) \\ +&j&(&&&&&&&-1&&) \\ +&k&(&&&&&1&&&&) \end{alignedat} \begin{aligned} \\ \quad→~ \begin{pmatrix} 0&-1&0&0 \\ 1&0&0&0 \\ 0&0&0&-1 \\ 0&0&1&0 \end{pmatrix} =:I \end{aligned}

\begin{alignedat}{6} j(1+i+j+k) =&&&j&&-k&&-1&+&i&& \\ =&1&(&&&&&-1&&&&) \\ +&i&(&&&&&&&1&&) \\ +&j&(&1&&&&&&&&) \\ +&k&(&&&-1&&&&&&) \end{alignedat} \begin{aligned} \\ \quad→~ \begin{pmatrix} 0&0&-1&0 \\ 0&0&0&1 \\ 1&0&0&0 \\ 0&-1&0&0 \end{pmatrix} =:J \end{aligned}

\begin{alignedat}{6} k(1+i+j+k) =&&&k&+&j&&-i&&-1&& \\ =&1&(&&&&&&&-1&&) \\ +&i&(&&&&&-1&&&&) \\ +&j&(&&&1&&&&&&) \\ +&k&(&1&&&&&&&&) \end{alignedat} \begin{aligned} \\ \quad→~ \begin{pmatrix} 0&0&0&-1 \\ 0&0&-1&0 \\ 0&1&0&0 \\ 1&0&0&0 \end{pmatrix} =:K \end{aligned}

$I,J,K$ は四元数の性質を再現します。単位行列を $E$ とします。

I^2=J^2=K^2=IJK=-E \\ IJ=-JI=K,\ JK=-KJ=I,\ KI=-IK=J

この表現行列は次の書籍で使われています。

佐武一郎 (2016) 『線型代数学（新装版）』裳華房 p. 30

反対称行列

$I,J,K$ は反対称行列（転置で符号が反転する行列）です。転置で対応する成分の元になった計算を比較します。

\begin{aligned} I_{21}&:&i1&=i&&⟷&I_{12}&:&ii&=-1 \\ I_{43}&:&ij&=k&&⟷&I_{34}&:&ik&=-j \\ J_{31}&:&j1&=j&&⟷&J_{13}&:&jj&=-1 \\ J_{24}&:&jk&=i&&⟷&J_{42}&:&ji&=-k \\ K_{41}&:&k1&=k&&⟷&K_{14}&:&kk&=-1 \\ K_{32}&:&ki&=j&&⟷&K_{23}&:&kj&=-i \end{aligned}

$i1=i$ のように単位元 $1$ を掛ける計算と、$ii=-1$ のように 2 乗で -1 になる計算が対になっているのが面白いです。

また、$ij=k$ と $ik=-j$ などは、2番目の因子と右辺を入れ替えると符号が反転します。これは巡回性と反交換性によって対応します。

ij=k\ \xrightarrow{\text{巡回性}}\ ki=j\ \xrightarrow{\text{反交換性}}\ ik=-j

今回の記事では左からの作用だけを行列で表現しましたが、右からの作用を別の行列で表現すると、左右から挟む作用を1つの行列にまとめることができます。