概要

二次正方行列でケイリー・ハミルトンの定理を使って行列の冪乗を下げるには、正則行列では2乗の形を作る必要があります。

例えば4乗を計算する際、2乗が2回表れます。

\begin{aligned} A&=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \\ \operatorname{tr}(A)&=a+d \\ \operatorname{det}(A)&=ad-bc \end{aligned}

\begin{aligned} A^4 &=(\underbrace{A^2}_{\text{1回目}})^2 \\ &=(\operatorname{tr}(A)A-\operatorname{det}(A)I)^2 \\ &=\operatorname{tr}(A)^2 \underbrace{A^2}_{\text{2回目}} -2\operatorname{tr}(A)\operatorname{det}(A)A +\operatorname{det}(A)^2I \\ &=\operatorname{tr}(A)^2 (\operatorname{tr}(A)A-\operatorname{det}(A)I) -2\operatorname{tr}(A)\operatorname{det}(A)A +\operatorname{det}(A)^2I \\ &=(\operatorname{tr}(A)^3-2\operatorname{tr}(A)\operatorname{det}(A))A -(\operatorname{tr}(A)^2\operatorname{det}(A)-\operatorname{det}(A)^2)I \end{aligned}

一方、非正則行列では任意の冪乗が簡単に計算できます。

A^n=\operatorname{tr}(A)^{n-1}A\quad(n≧1,\ \operatorname{det}(A)=0)

正則行列を非正則行列の和に分割して計算を試みます。

右下の分割

簡単そうな分割として、右下の成分だけの調整を試みます。

\begin{aligned} \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}a&b\\c&d'\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&0\\0&d''\end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix}a&b\\c&d'\end{pmatrix} +d''\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} \end{aligned}

第1項が正則にならないように $d'$ を決めます。

\begin{aligned} ad'-bc&=0 \\ d'&=\frac{bc}a \end{aligned}

第2項の行列は特殊な性質があります。

\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}^2 =\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}

2乗を計算します。

\begin{aligned} \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^2 &=\left\{ \begin{pmatrix}a&b\\c&d'\end{pmatrix} +d''\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} \right\}^2 \\ &=\begin{pmatrix}a&b\\c&d'\end{pmatrix}^2 +d''\begin{pmatrix}a&b\\c&d'\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} \\ &\quad+d''\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a&b\\c&d'\end{pmatrix} +d''^2\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}^2 \\ &=(a+d')\begin{pmatrix}a&b\\c&d'\end{pmatrix} +d''\begin{pmatrix}0&b\\0&d'\end{pmatrix} +d''\begin{pmatrix}0&0\\c&d'\end{pmatrix} +d''^2\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} \\ &=(a+d')\begin{pmatrix}a&b\\c&d'\end{pmatrix} +d''\begin{pmatrix}0&b\\c&2d'+d''\end{pmatrix} \\ &=(a+d')\begin{pmatrix}a&b\\c&d'\end{pmatrix} +d''\begin{pmatrix}a&b\\c&d'\end{pmatrix} -d''\begin{pmatrix}a&0\\0&-d\end{pmatrix} \\ &=(a+d)\begin{pmatrix}a&b\\c&d'\end{pmatrix} -d''\begin{pmatrix}a&0\\0&-d\end{pmatrix} \\ &=(a+d)\begin{pmatrix}a&b\\c&d'\end{pmatrix} +d''\begin{pmatrix}0&0\\0&a+d\end{pmatrix} -d''\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix} \\ &=(a+d)\begin{pmatrix}a&b\\c&d'\end{pmatrix} +(a+d)\begin{pmatrix}0&0\\0&d''\end{pmatrix} -(ad-bc)I \\ &=(a+d)\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}-(ad-bc)I \end{aligned}

うまく3乗から先が楽になる形が見出せませんでした。

$0$ から対生成するようなことを2回行って第1項に補っています。

左下の分割

今度は左下の成分だけの調整を試みます。

\begin{aligned} \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}a&b\\c'&d\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&0\\c''&0\end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix}a&b\\c'&d\end{pmatrix} +c''\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} \end{aligned}

第1項が正則にならないように $c'$ を決めます。

\begin{aligned} ad-bc'&=0 \\ c'&=\frac{ad}b \end{aligned}

第2項の行列は特殊な性質があります。

\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}^2 =\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}

2乗を計算します。

\begin{aligned} \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^2 &=\left\{ \begin{pmatrix}a&b\\c'&d\end{pmatrix} +c''\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} \right\}^2 \\ &=\begin{pmatrix}a&b\\c'&d\end{pmatrix}^2 +c''\begin{pmatrix}a&b\\c'&d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} +c''\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a&b\\c'&d\end{pmatrix} \\ &=(a+d)\begin{pmatrix}a&b\\c'&d\end{pmatrix} +c''\begin{pmatrix}b&0\\d&0\end{pmatrix} +c''\begin{pmatrix}0&0\\a&b\end{pmatrix} \\ &=(a+d)\begin{pmatrix}a&b\\c'&d\end{pmatrix} +c''\begin{pmatrix}0&0\\a+d&0\end{pmatrix} +c''\begin{pmatrix}b&0\\0&b\end{pmatrix} \\ &=(a+d)\begin{pmatrix}a&b\\c'&d\end{pmatrix} +(a+d)\begin{pmatrix}0&0\\c''&0\end{pmatrix} +\left(c-\frac{ad}b\right)bI \\ &=(a+d)\begin{pmatrix}a&b\\c'+c''&d\end{pmatrix}+(bc-ad)I \\ &=(a+d)\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}-(ad-bc)I \end{aligned}

結構良い感じに進みます。2行目で2乗を展開していますが、これを任意の冪乗に対して行うのはそう難しくなさそうです。以下の記事にまとめました。

冪零行列を使って冪零を求める

$c''b=-(ad-bc)$ に意味がありそうですが、これは漸化式にも現れます。

四元の半群 - 漸化式

第2行の分割

第2行の分割を試みます。

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a&b\\c'&d'\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&0\\c''&d''\end{pmatrix} \\

ケイリー・ハミルトンの定理で行列の係数として出て来る左上と右下の成分の和が等しくなるように条件を課します。

\begin{aligned} a+d'&=0+d'' \\ a+d'&=d-d' \\ 2d'&=d-a \\ d'&=\frac{d-a}2 \end{aligned}

第1項が正則にならない条件 $ad'-bc'=0$ より $d'=bc'/a$ を代入します。

\begin{aligned} \frac{bc'}a&=\frac{d-a}2 \\ c'&=\frac{a(d-a)}{2b} \end{aligned}

2乗を計算します。

\begin{aligned} \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^2 &=\left\{ \begin{pmatrix}a&b\\c'&d'\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&0\\c''&d''\end{pmatrix} \right\}^2 \\ &=\begin{pmatrix}a&b\\c'&d'\end{pmatrix}^2 +\begin{pmatrix}a&b\\c'&d'\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&0\\c''&d''\end{pmatrix} \\ &\quad+\begin{pmatrix}0&0\\c''&d''\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a&b\\c'&d'\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&0\\c''&d''\end{pmatrix}^2 \\ &=\underbrace{(a+d')}_{=d''}\begin{pmatrix}a&b\\c'&d'\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}bc''&bd''\\d'c''&d'd''\end{pmatrix} \\ &\quad+\begin{pmatrix}0&0\\c''a+d''c'&c''b+d''d'\end{pmatrix} +d''\begin{pmatrix}0&0\\c''&d''\end{pmatrix} \\ &=d''\left\{ \begin{pmatrix}a&b\\c'&d'\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&0\\c''&d''\end{pmatrix} \right\} \\ &\quad+\begin{pmatrix}0&bd''\\d''c'+c''(a+d')&d'd''+d''d'\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}bc''&0\\0&c''b\end{pmatrix} \\ &=d''\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} +d''\begin{pmatrix}0&b\\c&2d'\end{pmatrix} +b(c-c')I \\ &=d''\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} +d''\begin{pmatrix}0&b\\c&d-a\end{pmatrix} +(bc-ad')I \\ &=d''\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} +d''\begin{pmatrix}0&b\\c&d-a\end{pmatrix} +\{bc-a(d-d'')\}I \\ &=d''\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} +d''\begin{pmatrix}0&b\\c&d-a\end{pmatrix} -(ad-bc)I+ad''I \\ &=d''\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} +d''\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} -(ad-bc)I \\ &=2d''\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}-(ad-bc)I \\ &=(a+d)\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}-(ad-bc)I \end{aligned}

狙い通りに元の行列がまた現れたのは良いですが、これもまた3乗から先が楽になる形が見出せませんでした。

最終形の第1項が2つに分割されていることに何か意味がありそうですが、良く分かりません。