クライン–ゴルドン方程式とディラック方程式とシュレーディンガー方程式

ド・ブロイ波からクライン–ゴルドン方程式とディラック方程式とシュレーディンガー方程式をひねり出します。

【注意】厳密な導出ではありません。単純化を優先しています。

sinの無限積分解

グラフや数値計算でsinの無限積分解を調べたのでメモしておきます。

余微分のライプニッツ則

余微分でライプニッツ則に相当する式を求めます。

δ(η⊏ζ)=-dη⊏ζ+(-1)^p η⊏δζ

左内積とウェッジ積の交換

左内積とウェッジ積の交換を調べます。

α⊏(β⊏γ)=(α∧β)⊏γ=(-1)^{pq}β⊏(α⊏γ)

余微分とディラック作用素の内積部分

余微分とディラック作用素の内積部分は符号が異なります。余微分の計算に含まれる左内積により確認します。

余微分はホッジスターの計算が煩雑ですが、ディラック作用素で代用すれば簡略化できます。余微分を外微分と同じくらい気軽に使えるようにすることが目的です。

外積代数と左内積

クリフォード代数の幾何積は内積と外積の計算を含みます。内積のうち左内積と外積代数との対応を示します。ある種の微分形式の計算を省力化することを目的としています。

2～4次元で余微分とディラック作用素を比較

余微分の計算を単純化する準備として、2～4次元で余微分とディラック作用素を計算して比較します。ディラック作用素のグレードが下がる部分は余微分の符号反転に相当します。