角度を単位円上の点として扱う幾何代数の技法によって、二等辺三角形の性質を確認します。
※ わざわざ簡単なことを難しく説明するようですが、基本的な事項を幾何代数の技法ではどのように扱うのかを確認するのが目的です。
クリフォード代数は使用しないで、複素平面上でオイラーの公式を使用します。
※ 記事執筆者自身による転載です。
【元記事】オイラーの公式と二等辺三角形 - MathWills
目次
※ 図は Markdown に SVG を直接記述しています。詳細はこちらをご参照ください。
前提知識
複素数とその演算（和・積・共役・絶対値）については既知とします。
複素平面上で、オイラーの公式は偏角を単位円上の点に移します。
e^{iθ}=\cosθ+i\sinθ
単位円上の点同士の積から、偏角を合計した点が求まります。
e^{iα}e^{iβ}=e^{i(α+β)}
e^{iα}\overline{e^{iβ}}=e^{iα}e^{-iβ}=e^{i(α-β)}
これは角度差を単位円上の点として表現したものだと解釈できます。
三角形
$A,B,C$ を複素平面上の点とします。以下のように座標を取ります。
A=0,\ B≠0,\ C≠0,\ B≠C
※ このように座標を取れば、辺 $AB,AC$ の長さは絶対値 $|B|,|C|$ で表現できます。
角度の取り得る範囲をラジアンで指定します。
0<∠A<π\quad\cdots\ (1)
角度を単位円上の点として表現するには、角を構成する二辺を正規化（絶対値を $1$ にすること）して、反時計回りで頂点を結ぶときに起点となる方を複素共役にします。
\begin{alignedat}{3}
e^{i∠A}&=e^{i∠CAB}&=&\frac{\overline{C-A}}{|C-A|}\frac{B-A}{|B-A|}=&&\frac{B \overline C}{|BC|} \\
e^{i∠B}&=e^{i∠ABC}&=&\frac{\overline{A-B}}{|A-B|}\frac{C-B}{|C-B|}=&-&\frac{\overline{B}}{|B|}\frac{C-B}{|C-B|} \\
e^{i∠C}&=e^{i∠BCA}&=&\frac{\overline{B-C}}{|B-C|}\frac{A-C}{|A-C|}=&-&\frac{\overline{B-C}}{|B-C|}\frac{C}{|C|} \\
\end{alignedat}
※ 正規化によって相対座標が単位円上の点として表現されるため、オイラーの公式によって角度差が単位円上の点として表現されます。
二等辺三角形
二辺 $AB,AC$ の長さが等しいとき、$∠B=∠C$ となることを確認します。
$|B|=|C|$ を仮定すれば
e^{i∠B}&=-\frac{\overline B}{|B|}\frac{C-B}{|C-B|}=-\frac{\overline BC-|B|}{|B||C-B|} \\
e^{i∠C}&=-\frac{\overline{B-C}}{|B-C|}\frac{C}{|C|}=-\frac{\overline BC-|C|}{|C||C-B|}=-\frac{\overline BC-|B|}{|B||C-B|} \\
\therefore e^{i∠B}&=e^{i∠C}
よって以下が確認できました。
|B|=|C|\ \Rightarrow\ ∠B=∠C
次に、$∠B=∠C$ のとき、二辺 $AB,AC$ の長さが等しくなることを確認します。
$e^{i∠B}=e^{i∠C}$ を仮定して、左辺から右辺を引きます。
-&\frac{\overline B}{|B|}\frac{C-B}{\cancel{|C-B|}}+\frac{\overline{B-C}}{\cancel{|B-C|}}\frac{C}{|C|}=0 \\
-&\frac{\overline B}{|B|}C+|B|+\overline B\frac{C}{|C|}-|C|=0 \\
&|B|-|C|+\overline BC\left(\frac1{|C|}-\frac1{|B|}\right)=0 \\
&(|B|-|C|)+\frac{\overline BC}{|BC|}(|B|-|C|)=0 \\
&(|B|-|C|)\left(\frac{\overline BC}{|BC|}+1\right)=0 \\
&(|B|-|C|)(\overline{e^{i∠A}}+1)=0 \\
&∴\begin{cases}
|B|=|C| & \cdots\ (2) \\
\quad\text{または} \\
e^{i∠A}=-1 & \cdots\ (3)
\end{cases} \\
&(\because \overline{e^{i∠A}}=-1\ \Rightarrow\ e^{i∠A}=-1)
$(3)$ は有名なオイラーの等式 $e^{iπ}=-1$ より $∠A=π$ のときです。これは $(1)$ に反するため除外します。よって $(2)$ より以下が確認できました。
∠B=∠C\ \Rightarrow\ |B|=|C|
このように幾何的な対象を代数で計算するのが、幾何代数 (geometric algebra) の技法です。オイラーの公式は角度を扱う基本的な道具となります。
補足
もし $A=0$ としなかった場合、$\exp$ からの式変形の途中で、分母と相殺するように項を補う必要があります。（赤字部分）
e^{i∠B}=e^{i∠C}
\end{aligned} \\
\begin{aligned}
&\frac{\overline{A-B}}{|A-B|}\frac{C-B}{\cancel{|C-B|}}-\frac{\overline{B-C}}{\cancel{|B-C|}}\frac{A-C}{|A-C|}=0 \\
&\frac{\overline{A-B}}{|A-B|}(C\textcolor{red}{-A+A}-B)-\overline{(B\textcolor{red}{-A+A}-C)}\frac{A-C}{|A-C|}=0 \\
&\frac{\overline{A-B}}{|A-B|}(C-A)+|A-B|-\overline{(B-A)}\frac{A-C}{|A-C|}-|A-C| \\
&|B-A|-|C-A|+\overline{(B-A)}(C-A)\left(\frac1{|C-A|}-\frac1{|B-A|}\right)=0 \\
&(|B-A|-|C-A|)+\frac{\overline{B-A}}{|B-A|}\frac{C-A}{|C-A|}\left(|B-A|-|C-A|\right)=0 \\
&(|B-A|-|C-A|)\left(\frac{\overline{B-A}}{|B-A|}\frac{C-A}{|C-A|}+1\right)=0
これに $A=0$ を代入すれば、先に見た式と一致します。
(|B|-|C|)\left(\frac{\overline BC}{|BC|}+1\right)=0
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