前提知識

複素数とその演算（和・積・共役・絶対値）については既知とします。

e^{iθ}=\cosθ+i\sinθ

単位円上の点同士の積から、偏角を合計した点が求まります。

e^{iα}e^{iβ}=e^{i(α+β)}

片方を複素共役にすれば、偏角の差を表す点が求まります。

e^{iα}\overline{e^{iβ}}=e^{iα}e^{-iβ}=e^{i(α-β)}

これは角度差を単位円上の点として表現したものだと解釈できます。

円周角の定理

単位円上に 3 点 $A,B,C$ を取り、 $B,C$ から $A$ と円の中心 $O$ に線を引きます。

$∠BAC$ を $θ$ とおきます。 $B,C$ を固定したとき $θ$ は $A$ に依らず一定で、 $∠BOC$ は $2θ$ となります。これを円周角の定理と呼びます。

これが成り立つことを確認します。

$A,B,C$ が単位円上にあることから、 $|A|=|B|=|C|=1$ となります。

\therefore A\overline A=B\overline B=C\overline C=1

$A$ が原点に来るように座標をずらします。

O'&=O-A=-A \\
A'&=A-A=O \\
B'&=B-A \\
C'&=C-A

線分 $A'B',A'C'$ と $A'$ を中心とした単位円との交点 $B'',C''$ は、 $B',C'$ を正規化（絶対値で割ること）することで求まります。

B''=\frac{B'}{|B'|},\ C''=\frac{C'}{|C'|}

$B'',C''$ によって、 $θ$ を単位円上の点として表現できます。

e^{iθ}=\overline{B''}C''=\frac{\overline{B'}C'}{|B'C'|}

両辺を 2 乗します。途中で $A\overline A=B\overline B=C\overline C=1$ を利用するのがポイントです（赤字部分）。

e^{i(2θ)}
&=\frac{(\overline{B'}C')^2}{B'C'\overline{B'C'}} \\
&=\frac{\overline{B'}C'}{B'\overline{C'}} \\
&=\frac{(\overline B-\overline A)\textcolor{red}{A\overline A}(C-A)}{(B-A)(\overline C-\overline A)} \\
&=\frac{(\overline BA-\textcolor{red}{\overline AA})(\overline AC-\textcolor{red}{\overline AA})}{(B-A)(\overline C-\overline A)} \\
&=\frac{(\overline BA-\textcolor{red}{\overline BB})(\overline AC-\textcolor{red}{\overline CC})}{(B-A)(\overline C-\overline A)} \\
&=\frac{\overline B(A-B)(\overline A-\overline C)C}{(B-A)(\overline C-\overline A)} \\
&=\overline BC \\