シュタイナー・レームスの定理

$△ABC$ の 2 つの頂点 $B,C$ から角の二等分線を引いて、それぞれ辺との交点を $D,E$ とします。このとき $BD,CE$ の長さが等しければ $AB,AC$ の長さが等しくなり、 $△ABC$ は二等辺三角形となります。これをシュタイナー・レームスの定理と呼びます。

シュタイナー・レームスの定理

BD=CE\ \Rightarrow\ AB=AC

これが成り立つことを確認します。

準備

辺の長さの関係を数式で明確化します。（見た目通り）

AC&=AD+DC \\
AB&=AE+EB

以下の記事で得られた関係を利用します。

オイラーの公式と角の二等分線

角の二等分線の関係より、辺の長さの比が得られます。

AB:BC&=AD:DC \\
AC:CB&=AE:EB

角の二等分線の長さは、ピタゴラスの定理を交差させたような式で得られます。

BD×BD&=AB×BC-AD×DC \\
CE×CE&=AC×CB-AE×EB

※ 図形から関係を読み取るのはここまでで、以降は式の操作です。(1) ～ (6) は同じ組み合わせが繰り返されています。

整理

(1) (2) より

DC&=AC-AD \\
EB&=AB-AE

(3) と (7) より

AD&=\frac{AB×AC}{BC+AB} \\
DC&=\frac{AC×BC}{BC+AB}

(4) と (8) より

AE&=\frac{AC×AB}{CB+AC} \\
EB&=\frac{AB×CB}{CB+AC}

※ (9) ～ (12) の右辺が $A,B,C$ だけで表されているのがポイントです。

計算

省力化のため辺の長さを 1 文字で表します。

a&:=BC &(a>0) \\
b&:=AC &(b>0) \\
c&:=AB &(c>0)

(13)～(15) によって (9) ～ (12) を書き換えます。

AD&=\frac{cb}{a+c} \\
DC&=\frac{ba}{a+c} \\
AE&=\frac{bc}{a+b} \\
EB&=\frac{ca}{a+b}

(13)～(19) によって (5) (6) を書き換えます。

BD×BD&=ca-\frac{ab^2c}{(a+c)^2} \\
CE×CE&=ba-\frac{abc^2}{(a+b)^2}

二等分線 $BD,CE$ の長さが等しいことより

BD×BD&=CE×CE \\
c\cancel{a}-\frac{\cancel{a}b^2c}{(a+c)^2}&=b\cancel{a}-\frac{\cancel{a}bc^2}{(a+b)^2} \\

両辺が $b,c$ について対称であるため $b=c$ が示唆されます。それを確認するため計算を続けます。

c\frac{(a+c)^2-b^2}{(a+c)^2}&=b\frac{(a+b)^2-c^2}{(a+b)^2} \\
c\frac{\cancel{(a+b+c)}(a-b+c)}{(a+c)^2}&=b\frac{\cancel{(a+b+c)}(a+b-c)}{(a+b)^2} \\
\frac{c}{a+c}-\frac{bc}{(a+c)^2}&=\frac{b}{a+b}-\frac{bc}{(a+b)^2} \\
\frac{c(a+b)-b(a+c)}{\cancel{(a+b)(a+c)}}&=bc\frac{(a+b)^2-(a+c)^2}{(a+b)^{\cancel{\,2\,}}(a+c)^{\cancel{\,2\,}}} \\
ca+\cancel{cb}-ba-\cancel{bc}&=bc\frac{\cancel{a^2}+2ab+b^2-\cancel{a^2}-2ac-c^2}{(a+b)(a+c)} \\

0&=a(b-c)+bc\frac{2a(b-c)+(b+c)(b-c)}{(a+b)(a+c)} \\
0&=(b-c)\left\{a+bc\frac{2a+b+c}{(a+b)(a+c)}\right\}

\therefore b=c \quad\left(\because a+bc\frac{2a+b+c}{(a+b)(a+c)}>0\right)

よって $△ABC$ は二等辺三角形となり、シュタイナー・レームスの定理が示せました。

経緯

以下のツイートでシュタイナー・レームスの定理を知りました。

フィールズ賞受賞者である広中平祐先生が、高校時代に2週間熱中して解かれたという伝説の問題。当時三角関数は未履修だったため、別の方法で解かれたそうだ。詳しくは、広中先生の本『学問の発見』に書かれている。様々なエピソードが載っていて、とても面白い本なので是非読んでみて欲しい。 https://t.co/r0HiAg0AWf
— ポテト一郎 (@potetoichiro) October 13, 2020