冪乗を求めるために作った行列を、四元の半群として考えてみます。
【注意】この記事は独自の調査に基づいており、一般的な内容ではありません。
シリーズの記事です。
- 行列の分割とケイリー・ハミルトンの定理
- 冪零行列を使って冪乗を求める
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目次
生成
二次の非正則行列 B と冪零行列 C で生成される代数系を考えます。
B の2乗はトレースを掛けることと同じで、C の2乗は O です。
B2=tr(B)B, C2=O
冪零行列は非正則です。非正則行列同士の積は非正則となるため BC も CB も非正則です。そのため BC と CB の2乗もそれらのトレースを掛けるのと同じです。
(BC)2=tr(BC)BC, (CB)2=tr(CB)CB
トレースの性質より tr(BC)=tr(CB) です。表記の都合上1文字で置き換えます。
b=tr(B), c=tr(BC)=tr(CB)B2=bB, (BC)2=cBC, (CB)2=cCB
BC や CB の2乗の中間に当たる BCB や CBC も他とは区別されます。
そのため B と C で生成される代数系は以下の6つの基底を持ちます。
B,C,BC,CB,BCB,CBC
基底を減らす
B を成分表示します。
B=(b1b3b2b4)
B は非正則のため次の関係が成り立ちます。
b1b4−b2b3=0
C を次のように取れば CBC は C の定数倍となります。
CCBCBC=(0c300)=(0c300)(b1b3b2b4)=c3(0b10b2)=c3(0b10b2)(0c300)=c3(0b2c300)=tr(CB)b2c3C=cC
基底が少ない方が簡単になるため、C はこの形を採用します。
※ −c は B+C の行列式になっています。
det(B+C)=b1b4−b2(b3+c3)=0b1b4−b2b3−b2c3=−c
次に BCB を確認します。
BCBCB=(b1b3b2b4)(0c300)=c3(b2b400)=c3(b2b400)(b1b3b2b4)=c3(b2b1b4b1b22b4b2)=c3b2b1b1b4−b2b3=0b2b3b22b4b2=tr(BC)b2c3B=cB
よって、以後は4つの基底で考えます。
B,C,BC,CB
BCB=cB, CBC=cC
※ c=1 のときに擬似逆行列に似た関係になります。
乗積表
係数を別にすれば4つの基底は積で閉じています。
|
B |
C |
BC |
CB |
B |
bB |
BC |
bBC |
cB |
C |
CB |
O |
cC |
O |
BC |
cB |
O |
cBC |
O |
CB |
bCB |
cC |
bcC |
cCB |
16 種類の組み合わせのうち 4 種類が O になります。
単位元はないため、可逆元もありません。結合的であるため半群です。
※ 未確認ですが、半群論を調べると似たようなものが出て来るのかもしれません。
乗積表を逆にして、積として得られる基底が何に由来するかをまとめます。
BCBCCB=b1(B)(B)=c1(B)(CB)=c1(BC)(B)=c1(C)(BC)=c1(CB)(C)=c1(CB)(BC)=(B)(C)=b1(B)(BC)=c1(BC)(BC)=(C)(B)=b1(CB)(B)=c1(CB)(CB)
積
係数を付けて積を計算します。
(a1B+a2C+a3BC+a4CB)(a1′B+a2′C+a3′BC+a4′CB)=a1B(a1′B+a2′C+a3′BC+a4′CB) +a2C(a1′B+a2′C+a3′BC+a4′CB) +a3BC(a1′B+a2′C+a3′BC+a4′CB) +a4CB(a1′B+a2′C+a3′BC+a4′CB)=a1a1′bB+a1a2′BC+a1a3′bBC+a1a4′cB +a2a1′CB+0+a2a3′cC+0 +a3a1′cB+0+a3a3′cBC+0 +a4a1′bCB+a4a2′CBC+a4a3′bcC+a4a4′cCB=(a1a1′b+a1a4′c+a3a1′c)B +(a2a3′+a4a2′+a4a3′b)cC +(a1a2′+a1a3′b+a3a3′c)BC +(a2a1′+a4a1′b+a4a4′c)CB
係数の付き方に癖がありますが、項の分布は均一です。
漸化式
この代数系は、もともと二次の正則行列 A の冪乗を求めるため、B+C に分割する過程で見付かりました。
An=(B+C)n
そのため B+C を掛けることが重要で、その様子を見てみます。
(a1B+a2C+a3BC+a4CB)(B+C)=a1B(B+C)+a2C(B+C)+a3BC(B+C)+a4CB(B+C)=a1bB+a1BC+a2CB+0+a3cB+0+a4bCB+a4cC=(a1b+a3c)B+a4cC+a1BC+(a2+a4b)CB
冪乗の世代をコンマ付きの添え字で表すと、係数の漸化式が立てられます。
a1,1a2,1a3,1a4,1=1,=1,=0,=0,a1,na2,na3,na4,n=a1,n−1b+a3,n−1c=a4,n−1c=a1,n−1=a2,n−1+a4,n−1b
漸化式の形にすると、a1,a3 と a2,a4 の2つの系列に分かれて、それらは混ざらないことが分かります。また、a2,a3 は1世代前の a1,a4 を引き継いでいるため、a1,a4 は2世代前を指す漸化式が立てられます。
a1,1a4,1=1,=0,a1,2a4,2=b,=1,a1,na4,n=a1,n−2c+a1,n−1b=a4,n−2c+a4,n−1b
a1 と a4 は初期値が違うだけで漸化式は同じです。a4,3 を計算します。
a4,3=a4,1c+a4,2b=0c+1b=b
これは a1 と a4 が1世代ずれていることを意味します。
a4,n=a1,n−1
以上をまとめると、a1 はフィボナッチ数列のように計算すれば良く、残りは付随して値が決まることが分かりました。便宜上、第0世代を導入します。
a1,0=0,a1,1a2,1=1,=1,a1,na2,na3,na4,n=a1,n−2c+a1,n−1b=a1,n−2c=a1,n−1=a1,n−1
※ det(A)=−c より a1 の漸化式はケイリー・ハミルトンの定理のものと同一です。
a3=a4 より BC+CB としてまとめられ、項が3つに減ります。
5乗までを展開してみます。
(B+C)2(B+C)3(B+C)4(B+C)5=bB+BC+CB=(b2+c)B+cC+b(BC+CB)=(b3+2bc)B+bcC+(b2+c)(BC+CB)=(b4+3b2c+c2)B+(b2c+c2)C+(b3+2bc)(BC+CB)
漸化式を利用することで、かなり簡単になりました。
応用
二次正方行列の冪乗を求める過程で見付かりました。しかしケイリー・ハミルトンの定理でも漸化式を使う方法があり、それに比べて特に有利な点はありません。
それ以外の応用は不明です。
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