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一次変数変換と行列の積

一次変数変換から計算規則を抽出して行列の積を定義します。

シリーズの記事です。

  1. 一次変数変換と行列の積 ← この記事
  2. 単位行列と逆行列
  3. 掃き出し法と逆行列
  4. 行列の積の性質
  5. 行列の演算
  6. ケイリー・ハミルトンの定理
  7. 零行列と冪零行列
  8. 冪零行列と二重数
  9. 零因子ペアの生成
  10. 三種類の二元数
  11. 分解型四元数と同型対応
  12. 分解型四元数と幾何代数
  13. 行列表現と外積と行列式

目次

行列の積

$x,y$ は別の変数 $x',y'$ の一次式で表されるとします。

\tag{1} \begin{cases} x=ax'+by' \\ y=cx'+dy' \end{cases}

この連立方程式は変数 $x',y'$ を $x,y$ に変換する操作を表します。一次式のため一次変数変換と呼びます。

更に、$x',y'$ は別の変数 $x'',y''$ の一次式で表されるとします。

\tag{2} \begin{cases} x'=a'x''+b'y'' \\ y'=c'x''+d'y'' \end{cases}

$(1)$ に $(2)$ を代入すると、$x',y'$ を経由せずに直接 $x,y$ を $x'',y''$ で表す式が得られます。この操作を変換の合成と呼びます。

\tag{3} \begin{cases} x=a(a'x''+b'y'')+b(c'x''+d'y'')=(aa'+bc')x''+(ab'+bd')y'' \\ y=c(a'x''+b'y'')+d(c'x''+d'y'')=(ca'+dc')x''+(cb'+dd')y'' \end{cases}

$(1),(2),(3)$ から右辺の係数を抜き出します。

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}aa'+bc'&ab'+bd'\\ca'+dc'&cb'+dd'\end{pmatrix}

変換の合成を積の関係に見立てることで、行列の積の定義が得られます。

行列の積
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}aa'+bc'&ab'+bd'\\ca'+dc'&cb'+dd'\end{pmatrix}

これは表記を簡略化して計算に集中できるようにする工夫だと考えられます。

謝辞

高瀬正仁先生の朝日カルチャーセンターの講座を参考にさせていただきました。ありがとうございました。

行列を習い始めた頃、何を計算しているのか分からないまま計算方法だけを覚えました。今回の記事は当時の自分に向けて書きました。