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行列の演算

連立方程式と対比して行列の演算を定義します。

シリーズの記事です。

  1. 一次変数変換と行列の積
  2. 単位行列と逆行列
  3. 掃き出し法と逆行列
  4. 行列の積の性質
  5. 行列の演算 ← この記事
  6. ケイリー・ハミルトンの定理
  7. 零行列と冪零行列
  8. 冪零行列と二重数
  9. 零因子ペアの生成
  10. 三種類の二元数
  11. 分解型四元数と同型対応
  12. 分解型四元数と幾何代数
  13. 行列表現と外積と行列式

目次

次の変換を考えます。

\begin{cases} x=(a+a')x'+(b+b')y' \\ y=(c+c')x'+(d+d')y' \end{cases} \qquad \begin{pmatrix}a+a'&b+b'\\c+c'&d+d'\end{pmatrix}

これを2つの行列の和と考えます。

\begin{cases} x=(ax'+by')+(a'x'+b'y') \\ y=(cx'+dy')+(c'x'+d'y') \end{cases} \qquad \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}

行列の和は同じ位置にある成分の和として定義します。

行列の和
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a+a'&b+b'\\c+c'&d+d'\end{pmatrix}

同じ考え方で行列の差も定義できます。

\begin{aligned} &\begin{cases} x=(a-a')x'+(b-b')y' \\ y=(c-c')x'+(d-d')y' \end{cases} &&\begin{pmatrix}a-a'&b-b'\\c-c'&d-d'\end{pmatrix} \\ &\begin{cases} x=(ax'+by')-(a'x'+b'y') \\ y=(cx'+dy')-(c'x'+d'y') \end{cases} &&\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix} \end{aligned}
行列の差
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a-a'&b-b'\\c-c'&d-d'\end{pmatrix}

定数倍

逆行列の定義で共通因子の括り出しを行いました。

\begin{pmatrix} \frac{d}{ad-bc} & -\frac{b}{ad-bc} \\ -\frac{c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc} \end{pmatrix} =\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}

これを一般化します。

\begin{aligned} &\begin{cases} x=nax'+nby' \\ y=ncx'+ndy' \end{cases} &&\begin{pmatrix}na&nb\\nc&nd\end{pmatrix} \\ &\begin{cases} x=n(ax'+by') \\ y=n(cx'+dy') \end{cases} &&n\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \end{aligned}
行列の定数倍
\begin{pmatrix}na&nb\\nc&nd\end{pmatrix} =n\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}

行列の積で共通因子だけを移動させることが可能です。

\begin{aligned} &\begin{cases} x=ax'+by' \\ y=cx'+dy' \end{cases} \\ &\begin{cases} x'=na'x''+nb'y'' \\ y'=nc'x''+nd'y'' \end{cases} \\ &\begin{cases} \begin{cases} x=a(na'x''+nb'y'')+b(nc'x''+nd'y'') \\ y=c(na'x''+nb'y'')+d(nc'x''+nd'y'') \end{cases} \\ \begin{cases} x=na(a'x''+b'y'')+nb(c'x''+d'y'') \\ y=nc(a'x''+b'y'')+nd(c'x''+d'y'') \end{cases} \\ \begin{cases} x=n\{a(a'x''+b'y'')+b(c'x''+d'y'')\} \\ y=n\{c(a'x''+b'y'')+d(c'x''+d'y'')\} \end{cases} \end{cases} \end{aligned}
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}na'&nb'\\nc'&nd'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}na&nb\\nc&nd\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix} =n \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}

単位行列の定数倍

単位行列の定数倍を掛けることでも行列を定数倍できます。

\begin{aligned} &\begin{cases} x=nx' \\ y=ny' \end{cases} \\ &\begin{cases} x'=ax''+by'' \\ y'=cx''+dy'' \end{cases} \\ &\left\{\begin{aligned} x&=n(ax''+by'') \\ y&=n(cx''+dy'') \end{aligned}\right. \end{aligned}
\begin{pmatrix}n&0\\0&n\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} =n\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}

逆から掛けても同様です。

\begin{aligned} &\begin{cases} x=ax'+by' \\ y=cx'+dy' \end{cases} \\ &\begin{cases} x'=nx'' \\ y'=ny'' \end{cases} \\ &\left\{\begin{aligned} x&=anx''+bny''=n(ax''+by'') \\ y&=cnx''+dny''=n(cx''+dy'') \end{aligned}\right. \end{aligned}
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}n&0\\0&n\end{pmatrix} =n\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}

つまり単位行列の定数倍は任意の行列と交換します。

\begin{pmatrix}n&0\\0&n\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}n&0\\0&n\end{pmatrix} =n\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}

冪乗

同じ変換の繰り返しを考えます。

\begin{aligned} &\begin{cases} x=ax'+by' \\ y=cx'+dy' \end{cases} \\ &\begin{cases} x'=ax''+by'' \\ y'=cx''+dy'' \end{cases} \\ &\begin{cases} x=a(ax''+by'')+b(cx''+dy'')=(a^2+bc)x''+b(a+d)y'' \\ y=c(ax''+by'')+d(cx''+dy'')=c(a+d)x''+(bc+d^2)y'' \end{cases} \end{aligned}

行列の積で表現します。数字や変数と同じように冪乗の表記を使います。

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^2 =\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a^2+bc&b(a+d)\\c(a+d)&bc+d^2\end{pmatrix}

※ ケイリー・ハミルトンの定理につながります。詳細は次回に説明します。

逆行列との関係

数字や文字の $-1$ 乗は冪乗を減らします。

a^3a^{-1}=a^2

逆行列も同様に計算できます。(連立方程式の対応は省略します)

\begin{aligned} \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^3 \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1} &=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \underbrace{ \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1} }_I \\ &=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^2 \end{aligned}

数字や文字とは異なり、逆行列を分数の形では表記しません。

\xcancel{\frac1{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}