連立方程式と対比して行列の演算を定義します。
『行列と代数系』シリーズの記事です。
- 実二次正方行列の初歩
- 一次変数変換と行列の積
- 単位行列と逆行列
- 掃き出し法と逆行列
- 行列の積の性質
- 行列の演算 ← この記事
- ケイリー・ハミルトンの定理
- 零行列と冪零行列
- 零因子ペアの生成
- 実二次正方行列と代数系
目次
和
次の変換を考えます。
\begin{cases}
x=(a+a')x'+(b+b')y' \\
y=(c+c')x'+(d+d')y'
\end{cases}
\qquad
\begin{pmatrix}a+a'&b+b'\\c+c'&d+d'\end{pmatrix}
これを2つの行列の和と考えます。
\begin{cases}
x=(ax'+by')+(a'x'+b'y') \\
y=(cx'+dy')+(c'x'+d'y')
\end{cases}
\qquad
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}
行列の和は同じ位置にある成分の和として定義します。
行列の和
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}a+a'&b+b'\\c+c'&d+d'\end{pmatrix}
差
同じ考え方で行列の差も定義できます。
\begin{aligned}
&\begin{cases}
x=(a-a')x'+(b-b')y' \\
y=(c-c')x'+(d-d')y'
\end{cases}
&&\begin{pmatrix}a-a'&b-b'\\c-c'&d-d'\end{pmatrix}
\\
&\begin{cases}
x=(ax'+by')-(a'x'+b'y') \\
y=(cx'+dy')-(c'x'+d'y')
\end{cases}
&&\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}
\end{aligned}
行列の差
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}a-a'&b-b'\\c-c'&d-d'\end{pmatrix}
定数倍
逆行列の定義で共通因子の括り出しを行いました。
\begin{pmatrix}
\frac{d}{ad-bc} & -\frac{b}{ad-bc} \\
-\frac{c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc}
\end{pmatrix}
=\frac{1}{ad-bc}
\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}
これを一般化します。
\begin{aligned}
&\begin{cases}
x=nax'+nby' \\
y=ncx'+ndy'
\end{cases}
&&\begin{pmatrix}na&nb\\nc&nd\end{pmatrix}
\\
&\begin{cases}
x=n(ax'+by') \\
y=n(cx'+dy')
\end{cases}
&&n\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
\end{aligned}
行列の定数倍
\begin{pmatrix}na&nb\\nc&nd\end{pmatrix}
=n\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
行列の積で共通因子だけを移動させることが可能です。
\begin{aligned}
&\begin{cases}
x=ax'+by' \\
y=cx'+dy'
\end{cases}
\\
&\begin{cases}
x'=na'x''+nb'y'' \\
y'=nc'x''+nd'y''
\end{cases}
\\
&\begin{cases}
\begin{cases}
x=a(na'x''+nb'y'')+b(nc'x''+nd'y'') \\
y=c(na'x''+nb'y'')+d(nc'x''+nd'y'')
\end{cases}
\\
\begin{cases}
x=na(a'x''+b'y'')+nb(c'x''+d'y'') \\
y=nc(a'x''+b'y'')+nd(c'x''+d'y'')
\end{cases}
\\
\begin{cases}
x=n\{a(a'x''+b'y'')+b(c'x''+d'y'')\} \\
y=n\{c(a'x''+b'y'')+d(c'x''+d'y'')\}
\end{cases}
\end{cases}
\end{aligned}
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}na'&nb'\\nc'&nd'\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}na&nb\\nc&nd\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}
=n
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}
単位行列の定数倍
単位行列の定数倍を掛けることでも行列を定数倍できます。
\begin{aligned}
&\begin{cases}
x=nx' \\
y=ny'
\end{cases}
\\
&\begin{cases}
x'=ax''+by'' \\
y'=cx''+dy''
\end{cases}
\\
&\left\{\begin{aligned}
x&=n(ax''+by'') \\
y&=n(cx''+dy'')
\end{aligned}\right.
\end{aligned}
\begin{pmatrix}n&0\\0&n\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
=n\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
逆から掛けても同様です。
\begin{aligned}
&\begin{cases}
x=ax'+by' \\
y=cx'+dy'
\end{cases}
\\
&\begin{cases}
x'=nx'' \\
y'=ny''
\end{cases}
\\
&\left\{\begin{aligned}
x&=anx''+bny''=n(ax''+by'') \\
y&=cnx''+dny''=n(cx''+dy'')
\end{aligned}\right.
\end{aligned}
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}n&0\\0&n\end{pmatrix}
=n\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
つまり単位行列の定数倍は任意の行列と交換します。
\begin{pmatrix}n&0\\0&n\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}n&0\\0&n\end{pmatrix}
=n\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
冪乗
同じ変換の繰り返しを考えます。
\begin{aligned}
&\begin{cases}
x=ax'+by' \\
y=cx'+dy'
\end{cases}
\\
&\begin{cases}
x'=ax''+by'' \\
y'=cx''+dy''
\end{cases}
\\
&\begin{cases}
x=a(ax''+by'')+b(cx''+dy'')=(a^2+bc)x''+b(a+d)y'' \\
y=c(ax''+by'')+d(cx''+dy'')=c(a+d)x''+(bc+d^2)y''
\end{cases}
\end{aligned}
行列の積で表現します。数字や変数と同じように冪乗の表記を使います。
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^2
=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}a^2+bc&b(a+d)\\c(a+d)&bc+d^2\end{pmatrix}
※ ケイリー・ハミルトンの定理につながります。詳細は次回に説明します。
逆行列との関係
数字や文字の $-1$ 乗は冪乗を減らします。
a^3a^{-1}=a^2
逆行列も同様に計算できます。（連立方程式の対応は省略します）
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^3
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}
&=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
\underbrace{
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}
}_I \\
&=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^2
\end{aligned}
数字や文字とは異なり、逆行列を分数の形では表記しません。
\xcancel{\frac1{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}
