(fg)'=f'g+fg'
あまり筋が良くないかもしれませんが、余興として書きました。
シリーズの記事です。
目次
積の微分
$f,g$ は $x$ の関数とします。
f=f(x)
g=g(x)
$h$ は $f$ と $g$ の積とします。
h(x)=f(x)g(x)
$h$ は $f,g$ の関数だと見ることができます。
h=h(f,g)
$h$ を全微分します。
dh=h_f\,df+h_g\,dg
$h=fg$ を変数だと思えば偏微分は簡単です。
h_f=\frac{∂(fg)}{∂f}=\frac{∂f}{∂f}g=g
h_g=\frac{∂(fg)}{∂g}=f\frac{∂g}{∂g}=f
結果を代入すれば偏微分が消えます。
dh=g\,df+f\,dg
両辺を $dx$ で割れば $x$ での微分となります。
\frac{dh}{dx}=\frac{g\,df+f\,dg}{dx}=g\frac{df}{dx}+f\frac{dg}{dx}
ラグランジュの記法に書き直せば、ライプニッツ則が得られます。
h'=gf'+fg'
∴(fg)'=f'g+fg'
