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ケイリー=ディクソン構成と行列表現

複素数系を生成するケイリー=ディクソン構成と行列表現の関係を調べます。

シリーズの記事です。

  1. テンソル積と双四元数
  2. 分解型四元数とベクトル
  3. 行列表現で考えるテンソル積
  4. 四元数からクリフォード代数へ
  5. ケイリー=ディクソン構成と行列表現 ← この記事

目次

概要

実数から複素数複素数から四元数四元数から八元数八元数から十六元数のように超複素数系を生成するのがケイリー=ディクソン構成です。

(a,b)(c,d):=(ac-d^*b,da+bc^*)

複素数四元数の行列表現からケイリー=ディクソン構成との関係を探ります。

なお、八元数から先は行列で表現できないため、今回は扱いません。

八元数にはツォルンのベクトル行列代数という特殊な行列演算があります。今回の範囲を超えるため詳細は省略します。

複素数

複素数の積を計算します。

(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)

これを実部と虚部の組として表現したのがケイリー=ディクソン構成です。

(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)

行列表現

ケイリー=ディクソン構成の右辺に注目して、実部と虚部をそれぞれベクトルの計算に書き換えます。

\begin{aligned} \begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c\\-d\end{pmatrix} &=ac-bd \\ \begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix} \begin{pmatrix}d\\c\end{pmatrix} &=ad+bc \end{aligned}

右因子が同じになるように調整します。

\begin{aligned} \begin{pmatrix}a&-b\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix} &=ac-bd \\ \begin{pmatrix}b&a\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix} &=bc+ad \end{aligned}

左因子を並べて行列にすれば一度に計算できます。

\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ac-bd\\bc+ad\end{pmatrix}

左因子が複素数の行列表現です。1行目が実部となる作用、2行目が虚部となる作用です。

右因子を行列表現にすれば、計算結果も行列表現で得られます。

\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c&-d\\d&c\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ac-bd&-(bc+ad)\\bc+ad&ac-bd\end{pmatrix}

複素数構造

複素数に $i$ を掛ける計算と行列表現を比較します。

(a+ib)i=-b+ia
\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}

行列表現の1列目で表される $a+ib$ に $i$ を掛けると、2列目で表される $-b+ia$ になるという対応関係が認められます。これを仮に複素数構造と呼びます。

四元数

四元数複素数のネストとして表現できます。

a+jb=(a_0+ia_1)+j(b_0+ib_1)

ただし演算方法に注意が必要です。

j^2=-1,\ ij=-ji=k
a+jb=a_0+ia_1+jb_0-kb_1

$bj$ で $j$ を左に移動すると、$b$ が複素共役 $b ^ { * }$ になります。

bj=(b_0+ib_1)j=jb_0+ijb_1=jb_0-jib_1=j(b_0-ib_1)=jb^*

四元数の積を計算します。

\begin{aligned} (a+jb)(c+jd) &=ac+ajd+jbc+jbjd \\ &=ac+ja^*d+jbc+jjb^*d \\ &=(ac-b^*d)+j(a^*d+bc) \end{aligned}

この結果からケイリー=ディクソン構成を作ります。

(a,b)(c,d)=(ac-b^*d,a^*d+bc)

※ これは概要で引用したものとは異なります。👉詳細は後述

行列表現

ケイリー=ディクソン構成の右辺に注目して、それぞれベクトルの計算に書き換えます。

\begin{aligned} \begin{pmatrix}a&b^*\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c\\-d\end{pmatrix} &=ac-b^*d \\ \begin{pmatrix}a^*&b\end{pmatrix} \begin{pmatrix}d\\c\end{pmatrix} &=a^*d+bc \end{aligned}

右因子が同じになるように調整します。

\begin{aligned} \begin{pmatrix}a&-b^*\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix} &=ac-b^*d \\ \begin{pmatrix}b&a^*\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix} &=bc+a^*d \end{aligned}

左因子を並べれば行列表現が得られます。

\begin{pmatrix}a&-b^*\\b&a^*\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ac-b^*d\\bc+a^*d\end{pmatrix}

右因子を行列表現にすれば、計算結果も行列表現で得られます。

\begin{pmatrix}a&-b^*\\b&a^*\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c&-d^*\\d&c^*\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ac-b^*d&-(bc+a^*d)^*\\bc+a^*d&(ac-b^*d)^*\end{pmatrix}

四元数構造

四元数に $j$ を掛ける計算と行列表現を比較します。

(a+jb)j=-b^*+ja^*
\begin{pmatrix}a&-b^*\\b&a^*\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-b^*\\a^*\end{pmatrix}

行列表現の1列目で表される $a+jb$ に $j$ を掛けると、2列目で表される $-b ^ { * }+j a ^ { * }$ になるという対応関係が認められます。これを四元数構造と呼びます。

別の表現

複素数のネストで $j$ の位置を変えると、$k$ の符号が変わります。

\begin{aligned} a+bj &=(a_0+ia_1)+(b_0+ib_1)j \\ &=a_0+a_1i+b_0j+b_1k \end{aligned}

積での複素共役の現れ方も変化します。

\begin{aligned} (a+bj)(c+dj) &=ac+adj+bjc+bjdj \\ &=ac+adj+bc^*j+bd^*jj \\ &=(ac-bd^*)+(ad+bc^*)j \end{aligned}

この結果から作ったのが、概要で引用したケイリー=ディクソン構成です。

(a,b)(c,d)=(ac-bd^*,ad+bc^*)

右辺に注目して、それぞれベクトルの計算に書き換えます。

\begin{aligned} \begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c\\-d^*\end{pmatrix} &=ac-bd^* \\ \begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix} \begin{pmatrix}d\\c^*\end{pmatrix} &=ad+bc^* \end{aligned}

右因子を揃えることができないため、右因子を並べて行列表現を作ります。

\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c&d\\-d^*&c^*\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ac-bd^*&ad+bc^*\end{pmatrix}

左因子を行列表現にすれば、計算結果も行列表現で得られます。

\begin{pmatrix}a&b\\-b^*&a^*\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c&d\\-d^*&c^*\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} ac-bd^* & bc^*+ad \\ -(bc^*+ad)^* & (ac-bd^*)^* \end{pmatrix}

ここから右因子を第1列だけにして計算することもできます。

\begin{pmatrix}a&b\\-b^*&a^*\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c\\-d^*\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ac-bd^* \\ -(bc^*+ad)^*\end{pmatrix}

四元数構造は右から $j$ を掛けることに対応します。

j(c+dj)=-d^*+c^*j
\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c&d\\-d^*&c^*\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-d^*&c^*\end{pmatrix}

まとめ

複素数
(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)
(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ac-bd\\bc+ad\end{pmatrix}
(a+ib)i=-b+ia
(a,b)(0,1)=(-b,a)
\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}
四元数(左 $j$)
(a+jb)(c+jd)=(ac-b^*d)+j(a^*d+bc)
(a,b)(c,d)=(ac-b^*d,a^*d+bc)
\begin{pmatrix}a&-b^*\\b&a^*\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ac-b^*d\\bc+a^*d\end{pmatrix}
(a+jb)j=-b^*+ja^*
(a,b)(0,1)=(-b^*,a^*)
\begin{pmatrix}a&-b^*\\b&a^*\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-b^*\\a^*\end{pmatrix}
四元数(右 $j$)
(a+bj)(c+dj)=(ac-bd^*)+(ad+bc^*)j
(a,b)(c,d)=(ac-bd^*,ad+bc^*)
\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c&d\\-d^*&c^*\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ac-bd^*&ad+bc^*\end{pmatrix}
j(c+dj)=-d^*+c^*j
(0,1)(c,d)=(-d^*,c^*)
\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c&d\\-d^*&c^*\end{pmatrix} \\ =\begin{pmatrix}-d^*&c^*\end{pmatrix}

参考

以下のサイトに掲載されている spin1.pdf の P.22(2.3 スピノール空間上の実構造・四元数構造)を参考にしました。

四元数構造という用語が使われています。