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単位純虚四元数の積

単位純虚四元数の積が単位四元数になることを確認します。

2つの単位純虚四元数の積を計算します。

a,b,c,d,e,f∈\mathbb{R}
a^2+b^2+c^2=1,\ d^2+e^2+f^2=1
\begin{aligned} &(ai+bj+ck)(di+ej+fk) \\ &=-ad+aek-afj-bdk-be+bfi+cdj-cei-cf \\ &=-(ad+be+cf)+(bf-ce)i+(cd-af)j+(ae-bd)k \end{aligned}

積の係数の二乗和を計算して、単位四元数であることを確認します。

\begin{aligned} &(ad+be+cf)^2+(bf-ce)^2+(cd-af)^2+(ae-bd)^2 \\ &=a^2d^2+b^2e^2+c^2f^2+2abde+2acdf+2bcef \\ &\,+b^2f^2+c^2e^2-2bcef \\ &\,+c^2d^2+a^2f^2-2acdf \\ &\,+a^2e^2+b^2d^2-2abde \\ &=a^2(d^2+e^2+f^2)+b^2(d^2+e^2+f^2)+c^2(d^2+e^2+f^2) \\ &=(a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2) \\ &=1 \end{aligned}

※ この結果は四元数ノルム多元体(ノルムが乗法的)であることを利用すれば直ちに導かれます。

\begin{aligned} &\|(ai+bj+ck)(di+ej+fk)\|^2 \\ &=\|ai+bj+ck\|^2\|di+ej+fk\|^2 \\ &=(a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2) \end{aligned}

2つの単位純虚四元数の間の角度を $θ$、積の虚部方向の単位純虚四元数を $n$ とおけば、内積外積の関係から三角関数の性質に帰着すると解釈できます。

(ai+bj+ck)(di+ej+fk)=-\cosθ+n\sinθ
\cos^2θ+\sin^2θ=1