成分計算

2つの単位純虚四元数の積を計算します。

a,b,c,d,e,f\in\R

a^2+b^2+c^2&=1 \\ 
d^2+e^2+f^2&=1

&(ai+bj+ck)(di+ej+fk) \\
&=-ad+aek-afj-bdk-be+bfi+cdj-cei-cf \\
&=-(ad+be+cf)+(bf-ce)i+(cd-af)j+(ae-bd)k

積の係数の二乗和を計算して、単位四元数であることを確認します。

\begin{aligned} &(ad+be+cf)^2+(bf-ce)^2+(cd-af)^2+(ae-bd)^2 \\ &=a^2d^2+b^2e^2+c^2f^2+2abde+2acdf+2bcef \\ &\,+b^2f^2+c^2e^2-2bcef \\ &\,+c^2d^2+a^2f^2-2acdf \\ &\,+a^2e^2+b^2d^2-2abde \\ &=a^2(d^2+e^2+f^2)+b^2(d^2+e^2+f^2)+c^2(d^2+e^2+f^2) \\ &=(a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2) \\ &=1 \end{aligned}

別解 1

四元数がノルム多元体（ノルムが乗法的）であることを利用すれば直ちに導かれます。

\begin{aligned} &\|(ai+bj+ck)(di+ej+fk)\|^2 \\ &=\|ai+bj+ck\|^2\|di+ej+fk\|^2 \\ &=(a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2) \\ &=1 \end{aligned}

別解 2

2つの単位純虚四元数の間の角度を $θ$、積の虚部方向の単位純虚四元数を $n$ とおけば、内積と外積の関係から係数は三角関数で表せます。三角関数の基本的な性質よりノルムは 1 となります。

\|(ai+bj+ck)(di+ej+fk)\|^2
&=\|-\underbrace{\cosθ}_{\text{内積}}+\underbrace{n\sinθ}_{外積}\|^2 \\
&=\cos^2θ+\sin^2θ \\
&=1

動機

単位超球面 $S^3$ 上の 1 点を視覚的に表現する手段として、四元数の積を利用して単位球面 $S^2$ 上の 2 点に分解できないでしょうか。

w,x,y,z,a,b,c,d,e,f\in\R

w^2+x^2+y^2+z^2&=1 \\
a^2+b^2+c^2&=1 \\ 
d^2+e^2+f^2&=1

w+xi+yj+zk=(ai+bj+ck)(di+ej+fk)

手始めにその逆として、単位球面 $S^2$ 上の 2 点を 2 つの純虚四元数で表現して、その積が単位四元数になることを確認しました。

もともとブロッホ球について考えていたのですが、どちらかというと Spin 群や Pin 群に関係するようです。

偶数個だと四元数と同じになりそうですね。
Pin群だと奇数個まで含めて「任意にたくさんの鏡映の積に対応する」ということみたいです。https://t.co/AHVIkda9SA pic.twitter.com/mseiFBPxnp
— 七誌 (@7shi) June 11, 2024

視覚化

特定の単位四元数を得るための 2 つの単位純虚四元数の組み合わせは無数にあります。その様子を視覚化します。

2 つの単位純虚四元数 $\alpha,\beta$ の積の虚部は外積に対応します。

\Im{\alpha\beta}=\alpha\times\beta

一方、単位四元数 $w+xi+yj+zk$ から実部を落として虚部だけを残せば、 $x,y,z$ は単位 3 次元球内の 1 点（表面と内部）を指します。これを $\gamma$ とします。

$\gamma$ を法線として原点を含む平面と、単位 3 次元球が交差する円周上に 2 点 $\alpha,\beta$ を取ります。

$\gamma$ を固定します。 $\alpha\times\beta=\gamma$ となる $\alpha,\beta$ は無数にあります。 $\alpha,\beta$ の角度差だけが問題となるため、 $\alpha$ を固定すれば $\beta$ が決まります。

※ ここでは単純に $w$ を落として次元を削減していますが、標準的な方法はホップファイブレーションです。

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