ディラック作用素の2乗はラプラシアンとなります。
D^2=(d-δ)^2=-(dδ+δd)=Δ
この計算過程を追います。ラプラス＝ド・ラーム作用素についても簡単に紹介します。
【2018.07.25】全面的に改訂しました。
シリーズの記事です。
- ディラック作用素と外微分・余微分
- ディラック作用素とラプラシアン ← この記事
- ディラック作用素で2次元と4次元を計算
マクスウェル方程式や複素解析への応用は以下の記事を参照してください。
微分形式の余微分は以下の記事を参照してください。
目次
ディラック作用素はスカラー値関数 $f$ の全微分 $Df$ と基底とを、クリフォード代数の幾何積で計算します。基底を $ξ$ とすれば：
D(fξ)=(Df)ξ
ディラック作用素の計算結果にはグレードが上がる部分と下がる部分があります。グレードが上がる部分は外微分 $d$、グレードが下がる部分は余微分 $δ$ の符号反転と一致します。
D=d-δ
3次元の例
3次元の0-形式から3-形式までを用意します。
\begin{aligned}
ω_0&=f(x,y,z)\\
ω_1&=f(x,y,z)dx+g(x,y,z)dy+h(x,y,z)dz\\
ω_2&=f(x,y,z)dy\,dz+g(x,y,z)dz\,dx+h(x,y,z)dx\,dy\\
ω_3&=f(x,y,z)dx\,dy\,dz
\end{aligned}
これらにディラック作用素を適用します。
\begin{aligned}
Dω_0&=\underbrace{0}_{-δ}+\underbrace{f_x\,dx+f_y\,dy+f_z\,dz}_{d\,≅\,\mathrm{grad}}\\
Dω_1&=\underbrace{f_x+g_y+h_z}_{-δ\,≅\,\mathrm{div}}+\underbrace{(h_y-g_z)dy\,dz+(f_z-h_x)dz\,dx+(g_x-f_y)dx\,dy}_{d\,≅\,\mathrm{rot}}\\
Dω_2&=\underbrace{(g_z-h_y)dx+(h_x-f_z)dy+(f_y-g_x)dz}_{-δ\,≅\,-\mathrm{rot}}+\underbrace{(f_x+g_y+h_z)dx\,dy\,dz}_{d\,≅\,\mathrm{div}}\\
Dω_3&=\underbrace{f_x\,dy\,dz+f_y\,dz\,dx+f_z\,dx\,dy}_{-δ\,≅\,\mathrm{grad}}+\underbrace{0}_{d}
\end{aligned}
※ この図は元ニート2号さんの発案によります。
ディラック作用素はラプラシアン（ラプラス作用素）の平方根となるように定義されます。2乗すればラプラシアンを再現します。
D^2=(d-δ)^2=-(dδ+δd)=Δ
既に計算済みの結果に代入して確認します。
※ 敢えて愚直に計算して、後で別の計算方法と比較します。
0-形式
いわゆる普通のラプラシアンです。
D^2ω_0=D(\underbrace{-δω_0}_{\text{範囲外}}+\underbrace{dω_0}_{\mathrm{grad}})=\underbrace{-δdω_0}_{\mathrm{div\,grad}}+\underbrace{ddω_0}_{\mathrm{rot\,grad}}
既に計算済の $Dω _ 0$ を $Dω _ 1$ に代入します。
\begin{aligned}
-δdω_0&=f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}\\
ddω_0&=(f_{zy}-f_{yz})dy\,dz+(f_{xz}-f_{zx})dz\,dx+(f_{yx}-f_{xy})dx\,dy\\
&=0\\
D^2ω_0&=f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}
\end{aligned}
偏微分の順序が交換するため $dd=0$ となり、$-δd$ だけが残りました。
※ 0-形式を前提に $δd=-Δ$ は幾何学者のラプラシアンと呼ばれます。
1-形式
ベクトルラプラシアンと呼ばれます。
ベクトル解析の $Δ=\mathrm{grad\,div}-\mathrm{rot\,rot}$ に対応します。
D^2ω_1=D(\underbrace{-δω_1}_{\mathrm{div}}+\underbrace{dω_1}_{\mathrm{rot}})=\underbrace{δδω_1}_{\text{範囲外}}\,\underbrace{-dδω_1}_{\mathrm{grad\,div}}\,\underbrace{-δdω_1}_{-\mathrm{rot\,rot}}+\underbrace{ddω_1}_{\mathrm{div\,rot}}
既に計算済の $Dω _ 1$ を $Dω _ 0$ と $Dω _ 2$ に代入します。
\begin{aligned}
-dδω_1&=(f_x+g_y+h_z)_x\,dx\\
&\quad+(f_x+g_y+h_z)_y\,dy\\
&\quad+(f_x+g_y+h_z)_z\,dz\\
-δdω_1&=((f_z-h_x)_z-(g_x-f_y)_y)dx\\
&\quad+((g_x-f_y)_x-(h_y-g_z)_z)dy\\
&\quad+((h_y-g_z)_y-(f_z-h_x)_x)dz\\
ddω_1&=((h_y-g_z)_x+(f_z-h_x)_y+(g_x-f_y)_z)dx\,dy\,dz\\
&=(f_{zy}-f_{yz}+g_{xz}-g_{zx}+h_{xy}-h_{yx})dx\,dy\,dz\\
&=0\\
D^2ω_1&=(f_{xx}+g_{yx}+h_{zx}+f_{zz}-h_{xz}-g_{xy}+f_{yy})dx\\
&\quad+(f_{xy}+g_{yy}+h_{zy}+g_{xx}-f_{yx}-h_{yz}+g_{zz})dy\\
&\quad+(f_{xz}+g_{yz}+h_{zz}+h_{yy}-g_{zy}-f_{zx}+h_{xx})dz\\
&=(f_{xx}+f_{yy}+f_{zz})dx\\
&\quad+(g_{xx}+g_{yy}+g_{zz})dy\\
&\quad+(h_{xx}+h_{yy}+h_{zz})dz
\end{aligned}
偏微分の順序が交換するため $dd=0$ となり、$-(dδ+δd)$ が残りました。最後に $D ^ 2$ を計算する過程で、異なる変数で偏微分した項が消えてきれいな形になっています。
2-形式
D^2ω_2=D(\underbrace{-δω_2}_{-\mathrm{rot}}+\underbrace{dω_2}_{\mathrm{div}})=\underbrace{δδω_2}_{-\mathrm{div\,rot}}\underbrace{-dδω_2}_{-\mathrm{rot\,rot}}\,\underbrace{-δdω_2}_{\mathrm{grad\,div}}+\underbrace{ddω_2}_{\text{範囲外}}
既に計算済の $Dω _ 2$ を $Dω _ 1$ と $Dω _ 3$ に代入します。
\begin{aligned}
δδω_2&=(g_z-h_y)_x+(h_x-f_z)_y+(f_y-g_x)_z\\
&=f_{yz}-f_{zy}+g_{zx}-g_{xz}+h_{xy}-h_{yx}\\
&=0\\
-dδω_2&=((f_y-g_x)_y-(h_x-f_z)_z)dy\,dz\\
&\quad+((g_z-h_y)_z-(f_y-g_x)_x)dz\,dx\\
&\quad+((h_x-f_z)_x-(g_z-h_y)_y)dx\,dy\\
-δdω_2&=(f_x+g_y+h_z)_x\,dy\,dz\\
&\quad+(f_x+g_y+h_z)_y\,dz\,dx\\
&\quad+(f_x+g_y+h_z)_z\,dx\,dy\\
D^2ω_2&=(f_{yy}-g_{xy}-h_{xz}+f_{zz}+f_{xx}+g_{yx}+h_{zx})dy\,dz\\
&\quad+(g_{zz}-h_{yz}-f_{yx}+g_{xx}+f_{xy}+g_{yy}+h_{zy})dz\,dx\\
&\quad+(h_{xx}-f_{zx}-g_{zy}+h_{yy}+f_{xz}+g_{yz}+h_{zz})dx\,dy\\
&=(f_{xx}+f_{yy}+f_{zz})dy\,dz\\
&\quad+(g_{xx}+g_{yy}+g_{zz})dz\,dx\\
&\quad+(h_{xx}+h_{yy}+h_{zz})dx\,dy
\end{aligned}
偏微分の順序が交換するため $δδ=0$ となり、$-(dδ+δd)$ が残りました。1-形式と同じ計算をしていますが、外微分と余微分の役割がひっくり返っています。
3-形式
D^2ω_3=D(\underbrace{-δω_3}_{\mathrm{grad}}+\underbrace{dω_3}_{\text{範囲外}})=\underbrace{δδω_3}_{-\mathrm{rot\,grad}}\underbrace{-dδω_3}_{\mathrm{div\,grad}}
既に計算済の $Dω _ 3$ を $Dω _ 2$ に代入します。
\begin{aligned}
δδω_3&=(f_{yz}-f_{zy})dx+(f_{zx}-f_{xz})dy+(f_{xy}-f_{yx})dz\\
&=0\\
-dδω_3&=(f_{xx}+f_{yy}+f_{zz})dx\,dy\,dz\\
D^2ω_3&=(f_{xx}+f_{yy}+f_{zz})dx\,dy\,dz
\end{aligned}
偏微分の順序が交換するため $δδ=0$ となり、$-dδ$ だけが残りました。0-形式と同じ計算をしていますが、外微分と余微分の役割がひっくり返っています。
まとめ
結果をまとめます。
\begin{aligned}
D^2ω_0&=f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}\\
D^2ω_1&=(f_{xx}+f_{yy}+f_{zz})dx\\
&\quad+(g_{xx}+g_{yy}+g_{zz})dy\\
&\quad+(h_{xx}+h_{yy}+h_{zz})dz\\
D^2ω_2&=(f_{xx}+f_{yy}+f_{zz})dy\,dz\\
&\quad+(g_{xx}+g_{yy}+g_{zz})dz\,dx\\
&\quad+(h_{xx}+h_{yy}+h_{zz})dx\,dy\\
D^2ω_3&=(f_{xx}+f_{yy}+f_{zz})dx\,dy\,dz
\end{aligned}
ここまでで以下のことが分かります。
- 同じ添字で2回偏微分するパターン
- 範囲外、偏微分の順序交換により $dd=δδ=0$
次の関係が成り立ちます。
D^2=(d-δ)^2=\underbrace{δδ+dd}_0-dδ-δd=-(dδ+δd)=Δ
愚直に代入して計算しましたが、実はもっと簡単に計算できます。
ディラック作用素を単体で2乗すればラプラシアンが現れます。
\begin{aligned}
D^2
&=D\left(dx\frac{∂}{∂x}+dy\frac{∂}{∂y}+dz\frac{∂}{∂z}\right)\\
&=\left(D\frac{∂}{∂x}\right)dx+\left(D\frac{∂}{∂y}\right)dy+\left(D\frac{∂}{∂z}\right)dz\\
&=\left(dx\frac{∂^2}{∂x^2}+dy\frac{∂^2}{∂y∂x}+dz\frac{∂^2}{∂z∂x}\right)dx\\
&\quad+\left(dx\frac{∂^2}{∂x∂y}+dy\frac{∂^2}{∂y^2}+dz\frac{∂^2}{∂z∂y}\right)dy\\
&\quad+\left(dx\frac{∂^2}{∂x∂z}+dy\frac{∂^2}{∂y∂z}+dz\frac{∂^2}{∂z^2}\right)dz\\
&=\underbrace{dx^2}_1\frac{∂^2}{∂x^2}+\underbrace{dy^2}_1\frac{∂^2}{∂y^2}+\underbrace{dz^2}_1\frac{∂^2}{∂z^2}\\
&\quad+\underbrace{(dx\,dy+dy\,dx)}_0\frac{∂^2}{∂x∂y}\\
&\quad+\underbrace{(dy\,dz+dz\,dy)}_0\frac{∂^2}{∂y∂z}\\
&\quad+\underbrace{(dz\,dx+dx\,dz)}_0\frac{∂^2}{∂z∂x}\\
&=\frac{∂^2}{∂x^2}+\frac{∂^2}{∂y^2}+\frac{∂^2}{∂z^2}\\
&=Δ
\end{aligned}
これを各形式に作用させます。ベクトルラプラシアンがあっけなく計算できます。
\begin{aligned}
D^2ω_0&=D^2f\\
&=f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}\\
D^2ω_1&=D^2(f\,dx+g\,dy+h\,dz)\\
&=D^2f\,dx+D^2g\,dy+D^2h\,dz\\
&=(f_{xx}+f_{yy}+f_{zz})dx\\
&\quad+(g_{xx}+g_{yy}+g_{zz})dy\\
&\quad+(h_{xx}+h_{yy}+h_{zz})dz\\
D^2ω_2&=D^2(f\,dy\,dz+g\,dz\,dx+h\,dx\,dy)\\
&=D^2f\,dy\,dz+D^2g\,dz\,dx+D^2h\,dx\,dy\\
&=(f_{xx}+f_{yy}+f_{zz})dy\,dz\\
&\quad+(g_{xx}+g_{yy}+g_{zz})dz\,dx\\
&\quad+(h_{xx}+h_{yy}+h_{zz})dx\,dy\\
D^2ω_3&=D^2f\,dx\,dy\,dz\\
&=(f_{xx}+f_{yy}+f_{zz})dx\,dy\,dz
\end{aligned}
このように作用素を先に計算しても結果は一致します。
D(Dω)=(DD)ω
行列演算の結合性と同じ考え方です。
A(BC)=(AB)C
外微分と余微分の和 $d+δ$ の2乗はラプラス＝ド・ラーム作用素やホッジ・ラプラシアンと呼ばれ、ラプラシアンの符号反転となります。
(d+δ)^2=dδ+δd=-Δ
0-形式に対する余微分は常に $0$ となるため、$δd$ だけでラプラシアンの符号反転となります。（幾何学者のラプラシアン）
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