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行列と代数系

代数系への応用に重点を置いて行列を初歩から解説するシリーズです。

※ シリーズは未完です。記事は随時追加する予定です。

目次

1. 実二次正方行列の初歩

サイズが 2×2 で成分が実数の行列を実二次正方行列と呼びます。初歩的な事項を説明します。

タイトル 概要
1.1 一次変数変換と行列の積 一次変数変換から計算規則を抽出して行列の積を定義します。
1.2 単位行列と逆行列 恒等変換から単位行列、逆変換から逆行列を定義します。
1.3 掃き出し法と逆行列 掃き出し法によって逆行列を求める過程を、連立方程式と対比して説明します。
1.4 行列の積の性質 連立方程式と対比して行列の積の性質を調べます。
1.5 行列の演算 連立方程式と対比して行列の演算を定義します。
1.6 ケイリー・ハミルトンの定理 ケイリー・ハミルトンの定理とその応用で冪乗の計算を見ます。
1.7 零行列と冪零行列 ケイリー・ハミルトンの定理を使って、2乗で成分がすべてゼロになる行列を調べます。
1.8 零因子ペアの生成 行列に掛けて零行列となるようなペアの行列を生成します。

2. 実二次正方行列と代数系

実二次正方行列で表現される三種類の二元数(複素数分解型複素数・二重数)と、それらを包含する分解型四元数を通して行列の性質を探ります。

タイトル 概要
2.1 冪零行列と二重数 冪零行列から微分に応用できる二重数を構成します。
2.2 三種類の二元数 三種類の二元数(二重数、複素数分解型複素数)を行列で表現します。
2.3 分解型四元数と同型対応 複素数分解型複素数から分解型四元数を生成して、実二次正方行列との同型対応を見ます。
2.4 分解型四元数と幾何代数 分解型四元数でベクトルを作って内積外積を計算します。
2.5 行列表現と外積と行列式 逆行列から行列式を抽出して、行列表現や外積で解釈します。
2.6 分解型複素数と固有値 分解型複素数の直和分解から固有値を導入します。

(続く)

3. 複素二次正方行列

複素二次正方行列で表現される双四元数と、その部分代数として四元数を導入します。

(予定)

4. 三次以上への拡張

行列のサイズを三次以上に拡張して、表現される代数系として一般化クリフォード代数を導入します。

(予定)