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数学

余微分とディラック作用素の内積部分

余微分とディラック作用素の内積部分は符号が異なります。余微分の計算に含まれる幾何内積により確認します。 余微分はホッジスターの計算が煩雑ですが、ディラック作用素で代用すれば簡略化できます。余微分を外微分と同じくらい気軽に使えるようにすること…

外積代数と幾何積の内積部分

クリフォード代数の幾何積は内積と外積の計算を含みます。幾何積の内積部分(幾何内積)と外積代数との対応を示します。 ある種の微分形式の計算を省力化することを目的としています。 以下の記事を前提としています。 ホッジ双対とクリフォード代数 マルチ…

2~4次元で余微分とディラック作用素を比較

余微分の計算を単純化する準備として、2~4次元で余微分とディラック作用素を計算して比較します。 ディラック作用素のグレードが下がる部分は余微分の符号反転に相当します。今回は計算例の確認だけですが、詳細は以下の記事を参照してください。 余微分と…

2~4次元で余微分を計算

2~4次元で余微分を計算します。余微分の具体的な計算例を示すことを目的とします。 ユークリッド空間とミンコフスキー空間のどちらにも適用できるように、計量は数値化せずに残します。 余微分については前回の記事を参照してください。 余微分の定義を追う…

マルチベクトルの内積

前回、マルチベクトル(k-ベクトル)の内積の計算方法を取り上げました。 ホッジ双対とクリフォード代数 今回は直観的なイメージを書きます。

ホッジ双対とクリフォード代数

外積代数の内積とホッジ双対をクリフォード代数で計算します。特にミンコフスキー空間のホッジ双対を求めるのに便利です。 この記事は以下をベースに、解釈やクリフォード代数などを補いました。 wikipedia:ホッジ双対 計算の直観的なイメージは続編を参照し…

(コ)ホモロジーの連続と離散

Twitterのログを集めた個人的なメモです。 トポロジーでは頂点が離散的な図形から入りますが、微分形式では連続した場(多様体)から入るので、ホモロジーとコホモロジーが双対だと言っても少し間が空いているような印象を持っていました。 タイムラインを眺…

四元数とマクスウェル方程式

Physics Advent Calendar 2017 10日目の参加記事です。7日目に引き続きマクスウェル方程式の話題です。 マクスウェルはマクスウェル方程式を発表した後、四元数を用いた書き替えを行いました。それについては中嶋慧さんのツイートに詳しいです。 今回はマク…

ディラック作用素とマクスウェル方程式

Physics Advent Calendar 2017 7日目の参加記事です。 ディラック作用素でマクスウェル方程式を求めるまでの流れを説明します。計算の道具として使うことを想定して、厳密さには拘らずになるべく直観的に記述します。 この記事は元ニート2号さんにご教授頂い…

ディラック作用素で2次元と4次元を計算

ディラック作用素を計算して、2次元や4次元のベクトル解析を調べます。 ディラック作用素については以下の記事を参照してください。 2017.10.04 ディラック作用素と外微分・余微分 2017.10.07 ラプラス=ド・ラーム作用素 計算には以下で作成したプログラム…

八元数と7次元の外積

12月4日は八元数の第一発見者ジョン・グレイヴスの誕生日です。誕生日を記念して、八元数と密接に関係する7次元の外積について書きます。 グレイヴスとは独立に八元数を発見したアーサー・ケイリー(ケイリー・ハミルトンの定理のケイリー)が先に発表しまし…

ラプラス=ド・ラーム作用素

ディラック作用素の2乗はラプラシアンを一般化したものでラプラス=ド・ラーム作用素と呼びます。計算過程を確認します。 ※ ディラック作用素についてはこちらの記事を参照してください。 微分形式の余微分は以下の記事を参照してください。 2018.06.29 余微…

ディラック作用素と外微分・余微分

全微分からディラック作用素を抽出して外微分と余微分に分離します。クリフォード代数も簡単に導入します。 ※ 全微分についてはこちらの記事、スカラー場についてはこちらの記事を参照してください。 微分形式の余微分は以下の記事を参照してください。 2018…

積の微分

全微分で積の微分(ライプニッツ則)を求めます。 ※ 全微分についてはこちらの記事を参照してください。 あまり筋が良くないかもしれませんが、余興として書きました。

連鎖律

全微分を連鎖させることで連鎖律が得られることを見ます。注意点としてオイラーの連鎖式を紹介します。 ※ 全微分についてはこちらの記事を参照してください。 メモ程度の説明ですが、後で余力があれば書き直したいです。

全微分

全微分を直観的に把握するコツのようなものを書きます。 ※ 偏微分の知識を前提にしています。 メモ程度の説明ですが、後で余力があれば書き直したいです。

全微分と接線

全微分により接線が得られることを簡単にまとめます。 ※ 全微分についてはこちらの記事を参照してください。 メモ程度の説明ですが、後で余力があれば書き直したいです。